Страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

331. Из бака ёмкостью 12 л, наполненного доверху водой, равномерно вытекает вода. График зависимости $V$ от $t$, где $V$ — объём воды в баке (в литрах), а $t$ — время вытекания воды (в минутах), построен на рисунке 42. Пользуясь графиком, найдите:

а) объём воды в баке через 3 мин;

б) время, через которое в баке осталось 4 л воды;

в) за какое время вытекла вся вода.

Рис. 42

Данный график представляет собой линейную зависимость объёма воды $V$ в баке от времени $t$. По оси ординат (вертикальной) отложен объём в литрах (л), а по оси абсцисс (горизонтальной) — время в минутах (мин). Начальный объём воды в баке (при $t=0$) составляет 12 л.

а) объём воды в баке через 3 мин

Чтобы найти объём воды в баке через 3 минуты, необходимо на горизонтальной оси времени $t$ найти значение, равное 3. Затем от этой точки следует подняться вертикально вверх до пересечения с линией графика. После этого от точки пересечения нужно провести горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью объёма $V$. Эта линия указывает на значение 6 на оси $V$.
Таким образом, через 3 минуты в баке останется 6 литров воды.

Ответ: 6 л.

б) время, через которое в баке осталось 4 л воды

Чтобы определить, через какое время в баке осталось 4 л воды, нужно найти значение 4 на вертикальной оси объёма $V$. От этой точки проведём горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из полученной точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось времени $t$. Этот перпендикуляр указывает на значение 4 на оси $t$.
Следовательно, 4 литра воды в баке останется через 4 минуты.

Ответ: 4 мин.

в) за какое время вытекла вся вода

Вопрос о том, за какое время вытекла вся вода, эквивалентен нахождению времени, при котором объём воды в баке стал равен 0 л. На графике это та точка, в которой линия пересекает горизонтальную ось $t$ (поскольку на этой оси $V=0$). Из графика видно, что пересечение происходит в точке, где $t=6$.
Это означает, что вся вода вытекла за 6 минут.

Ответ: 6 мин.

332. Дачник отправился из дома на автомобиле в посёлок. Сначала он ехал по шоссе, а затем по просёлочной дороге, сбавив при этом скорость. График движения дачника изображён на рисунке 43. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы:

а) сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров по шоссе он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;

б) сколько времени ехал дачник по просёлочной дороге и сколько километров он проехал по этой дороге; какова была скорость автомобиля на этом участке пути;

в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до посёлка?

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

Рис. 43

а) сколько времени ехал дачник по шоссе и сколько километров по шоссе он проехал; какая скорость автомобиля была на этом участке пути;

Согласно условию, сначала дачник ехал по шоссе, а затем по просёлочной дороге, сбавив скорость. На графике зависимости расстояния от времени ($s$ от $t$) скорость движения определяется наклоном линии: чем больше наклон, тем выше скорость. График состоит из двух прямолинейных участков. Первый участок имеет более крутой наклон, что соответствует большей скорости, то есть движению по шоссе.
Проанализируем оси графика. По горизонтальной оси времени $t$ 5 клеток соответствуют 1 часу, значит, цена одного деления составляет $1 \text{ ч} / 5 = 0.2 \text{ ч}$. По вертикальной оси расстояния $s$ 5 клеток соответствуют 10 км, значит, цена одного деления составляет $10 \text{ км} / 5 = 2 \text{ км}$.
Первый участок графика начинается в точке $(0; 0)$ и заканчивается в точке изгиба. Координаты этой точки: время $t_1 = 3 \text{ деления} \cdot 0.2 \text{ ч/деление} = 0.6 \text{ ч}$ и расстояние $s_1 = 40 \text{ км}$.
Следовательно, время движения по шоссе равно $0.6$ часа, а пройденное расстояние – $40$ км.
Скорость автомобиля на этом участке вычислим по формуле $v = s/t$:
$v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{40 \text{ км}}{0.6 \text{ ч}} = \frac{400}{6} \text{ км/ч} = \frac{200}{3} \text{ км/ч} \approx 66.7 \text{ км/ч}$.

Ответ: дачник ехал по шоссе $0.6$ часа и проехал $40$ км; скорость автомобиля на этом участке была $\frac{200}{3}$ км/ч (примерно $66.7$ км/ч).

б) сколько времени ехал дачник по просёлочной дороге и сколько километров он проехал по этой дороге; какова была скорость автомобиля на этом участке пути;

Движение по просёлочной дороге соответствует второму участку графика, который имеет меньший наклон. Этот участок начинается в точке с координатами ($t_1=0.6 \text{ ч}, s_1=40 \text{ км}$) и заканчивается в конечной точке пути.
Координаты конечной точки: время $t_2 = 6 \text{ делений} \cdot 0.2 \text{ ч/деление} = 1.2 \text{ ч}$ и расстояние $s_2 = 70 \text{ км}$.
Время, затраченное на движение по просёлочной дороге, равно разности времени в конечной и начальной точках этого участка:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 1.2 \text{ ч} - 0.6 \text{ ч} = 0.6 \text{ ч}$.
Расстояние, пройденное по просёлочной дороге, равно разности расстояний в этих точках:
$\Delta s = s_2 - s_1 = 70 \text{ км} - 40 \text{ км} = 30 \text{ км}$.
Скорость автомобиля на этом участке:
$v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{30 \text{ км}}{0.6 \text{ ч}} = \frac{300}{6} \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: дачник ехал по просёлочной дороге $0.6$ часа и проехал $30$ км; скорость автомобиля на этом участке была $50$ км/ч.

в) за какое время дачник проехал весь путь от дома до посёлка?

Общее время в пути равно координате времени конечной точки графика. Как мы определили ранее, это $t_2 = 1.2$ часа.
Это же время можно получить, сложив время движения на каждом из двух участков:
$T_{\text{общ}} = \text{время по шоссе} + \text{время по просёлку} = 0.6 \text{ ч} + 0.6 \text{ ч} = 1.2 \text{ ч}$.

Ответ: весь путь от дома до посёлка дачник проехал за $1.2$ часа.

333. В бак налили воду, температура которой $10^\circ C$, и нагревали её до $100^\circ C$, причём через каждую минуту температура повышалась на $1.5^\circ C$. Задайте формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику:

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

б) через какое время вода нагрелась до $85^\circ C$.

Для решения задачи сначала зададим формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах).

Начальная температура воды в момент времени $t = 0$ составляет 10 °C. Это начальное значение нашей функции.

По условию, каждую минуту температура повышается на 1,5 °C. Это постоянная скорость нагрева, которая является коэффициентом при переменной $t$.

Таким образом, зависимость является линейной и описывается уравнением вида $T = kt + b$, где $b$ — начальная температура, а $k$ — скорость изменения температуры.

Подставляя наши значения, получаем формулу:
$T(t) = 1.5t + 10$

Эта формула справедлива для промежутка времени, в течение которого вода нагревается от 10 °C до 100 °C. Найдем, когда температура достигнет 100 °C:
$100 = 1.5t + 10$
$1.5t = 90$
$t = \frac{90}{1.5} = 60$ минут.
Следовательно, область определения для нашей функции: $0 \le t \le 60$.

Теперь построим график этой зависимости. Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

• При $t = 0$ мин, $T = 1.5 \cdot 0 + 10 = 10$ °C. Точка (0; 10).
• При $t = 60$ мин, $T = 1.5 \cdot 60 + 10 = 90 + 10 = 100$ °C. Точка (60; 100).

График зависимости температуры от времени (красными пунктирными линиями показаны решения для пунктов а) и б)):

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

Чтобы найти температуру по графику, находим на горизонтальной оси времени ($t$) значения 5 и 10. От этих точек поднимаем перпендикуляры до пересечения с графиком. Затем из точек пересечения проводим перпендикуляры к вертикальной оси температуры ($T$) и считываем значения.
- При $t = 5$ мин, температура $T \approx 17.5$ °C.
- При $t = 10$ мин, температура $T = 25$ °C.
Проверим вычисления по формуле:
$T(5) = 1.5 \cdot 5 + 10 = 7.5 + 10 = 17.5$ °C.
$T(10) = 1.5 \cdot 10 + 10 = 15 + 10 = 25$ °C.

Ответ: через 5 мин температура воды была 17,5 °C; через 10 мин — 25 °C.

б) через какое время вода нагрелась до 85 °C.

Чтобы найти время по графику, находим на вертикальной оси температуры ($T$) значение 85. От этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось времени ($t$) и считываем значение.
По графику видно, что при $T = 85$ °C, время $t = 50$ мин.
Проверим вычисления по формуле:
$85 = 1.5t + 10$
$1.5t = 85 - 10$
$1.5t = 75$
$t = \frac{75}{1.5} = 50$ мин.

Ответ: вода нагрелась до 85 °C через 50 минут.