Страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

339. Функция задана графиком (рис. 49). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами.

Аналитическое представление функции:

$ f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{при } x \le 0 \\ 1 & \text{при } 0 < x < 1 \\ x & \text{при } x \ge 1 \end{cases} $

Рис. 49

Чтобы задать функцию, изображенную на графике, аналитически, необходимо описать ее поведение с помощью формул. Так как график состоит из трех прямолинейных участков, функцию можно задать кусочно, то есть несколькими формулами для разных интервалов. Также возможно найти одну общую формулу.

Способ 1: Задание функции несколькими формулами (кусочно)

Найдем уравнение для каждого из трех линейных участков графика.

1. Участок при $x \le 0$
Это часть прямой, которая проходит через точки с координатами $(-1, 2)$ и $(0, 1)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.
Угловой коэффициент (наклон) $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 2}{0 - (-1)} = \frac{-1}{1} = -1$.
Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Из точки $(0, 1)$ видно, что $b=1$.
Следовательно, для $x \le 0$ формула функции: $y = -x + 1$.

2. Участок при $0 < x < 1$
На этом интервале график является горизонтальным отрезком. Для всех точек этого отрезка координата $y$ постоянна и равна $1$.
Следовательно, для $0 < x < 1$ формула функции: $y = 1$.

3. Участок при $x \ge 1$
Это часть прямой, проходящей через точки $(1, 1)$ и $(2, 2)$.
Найдем ее угловой коэффициент $k$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с известным наклоном: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим точку $(1, 1)$ и $k=1$: $y - 1 = 1 \cdot (x - 1)$, откуда получаем $y = x$.
Следовательно, для $x \ge 1$ формула функции: $y = x$.

Объединив все три случая, получаем аналитическое представление функции в виде системы.

Ответ: $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x \le 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Способ 2: Задание функции одной формулой

Данную функцию можно также описать одной формулой, используя функцию модуля (абсолютной величины). Изломы графика находятся в точках $x=0$ и $x=1$, поэтому будем искать формулу в виде $y = a|x| + b|x-1| + c$.

Коэффициенты $a$ и $b$ определяют наклоны участков графика.
- При $x < 0$ наклон графика равен $-1$. Наклон для нашей формулы равен $-a-b$. Получаем уравнение: $-a-b = -1 \implies a+b=1$.
- При $0 < x < 1$ наклон графика равен $0$. Наклон для нашей формулы равен $a-b$. Получаем уравнение: $a-b=0 \implies a=b$.
- При $x > 1$ наклон графика равен $1$. Наклон для нашей формулы равен $a+b$, что совпадает с первым случаем: $a+b=1$.

Решая систему $\begin{cases} a+b=1 \\ a=b \end{cases}$, находим, что $2a=1$, то есть $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}$.

Формула приобретает вид $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}|x-1| + c$. Для нахождения $c$ подставим в нее координаты любой точки с графика, например, $(0, 1)$:
$1 = \frac{1}{2}|0| + \frac{1}{2}|0-1| + c \implies 1 = 0 + \frac{1}{2}(1) + c \implies c = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили единую формулу для всей функции.

Ответ: $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}|x-1| + \frac{1}{2}$

342. Постройте график функции:

а) $y = 0.25|x| + 1$

б) $y = |x| + 0.5x$

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

а) $y = 0,25|x| + 1$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль по определению.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 0,25x + 1$.
Это линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

- при $x=0$, $y = 0,25 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- при $x=4$, $y = 0,25 \cdot 4 + 1 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 0,25(-x) + 1 = -0,25x + 1$.
Это также линейная функция. Для построения найдем две точки:

- точка $(0, 1)$ является вершиной, из которой выходит луч.

- при $x=-4$, $y = -0,25 \cdot (-4) + 1 = 2$. Точка $(-4, 2)$.

График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$. График симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции — это график $y=|x|$, сжатый к оси OX (ветви стали более пологими, с коэффициентами $0,25$ и $-0,25$) и смещенный на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх.

б) $y = |x| + 0,5x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + 0,5x = 1,5x$.
Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки:

- при $x=0$, $y = 1,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x=2$, $y = 1,5 \cdot 2 = 3$. Точка $(2, 3)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x + 0,5x = -0,5x$.
Это также прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки:

- точка $(0, 0)$ является общей точкой излома.

- при $x=-2$, $y = -0,5 \cdot (-2) = 1$. Точка $(-2, 1)$.

Соединяем точки для каждого случая и получаем график.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \ge 0$ это луч прямой $y = 1,5x$, а для $x < 0$ это луч прямой $y = -0,5x$.

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Точка с абсциссой $x=0$ будет выколота на графике.

Упростим выражение $\frac{|x|}{x}$, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$.
Функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x - 2) = x - 2$.
Это часть прямой $y=x-2$ для всех $x > 0$. Найдем точки:

- при $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x=4$, $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$.

- Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^+$. $y \to 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$ выколота.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$.
Функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x - 2) = -x + 2$.
Это часть прямой $y=-x+2$ для всех $x < 0$. Найдем точки:

- при $x=-2$, $y = -(-2) + 2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

- Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^-$. $y \to -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ выколота.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — это луч прямой $y = x - 2$, начинающийся в выколотой точке $(0, -2)$ и определенный для $x > 0$. Второй — это луч прямой $y = -x + 2$, начинающийся в выколотой точке $(0, 2)$ и определенный для $x < 0$.

340. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 50), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды $V$ (в литрах) в баке зависит от времени $x$ (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость $V$ от $x$ аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин.

Рис. 50

Решение

Для того чтобы задать аналитическую зависимость объёма воды $V$ в баке от времени $x$, необходимо рассмотреть все этапы процесса, описанного в задаче.

1. Начальные данные и ограничения.

Начальный объём воды в баке: $V_0 = 20$ литров.

Скорость вытекания воды: $v = 2$ л/мин.

Из-за расположения крана вытечь может только 0,9 от общего объёма. Рассчитаем, какой объём воды может вытечь и какой останется в баке.

Максимальный объём, который может вытечь: $V_{слив} = 20 \cdot 0,9 = 18$ литров.

Минимальный объём, который всегда остаётся в баке: $V_{мин} = 20 - V_{слив} = 20 - 18 = 2$ литра.

2. Определение времени вытекания.

Вода будет вытекать до тех пор, пока её объём не достигнет минимального значения в 2 литра. Найдём, сколько времени для этого потребуется:

Время $x_{стоп} = \frac{V_{слив}}{v} = \frac{18}{2} = 9$ минут.

Это означает, что вода активно вытекает из крана только в течение первых 9 минут. После 9 минут, несмотря на то что кран открыт (как указано в условии про 12 минут), вода больше не вытекает.

3. Построение аналитической зависимости.

Зависимость $V(x)$ является кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей:

- При $0 \le x \le 9$ (пока вода вытекает), объём в баке уменьшается. Он равен начальному объёму минус объём вытекшей воды:

$V(x) = 20 - 2x$

- При $x > 9$ (когда уровень воды опустился до крана), объём воды в баке остаётся постоянным и равным минимальному значению:

$V(x) = 2$

Объединив эти два случая, получаем полную аналитическую зависимость $V$ от $x$.

Ответ: Зависимость объёма воды $V$ (в литрах) от времени $x$ (в минутах) задаётся аналитически следующей формулой:$V(x) = \begin{cases} 20 - 2x, & \text{если } 0 \le x \le 9 \\ 2, & \text{если } x > 9 \end{cases}$

343. Функция задана двумя формулами:

$y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.

Чтобы задать данную кусочно-заданную функцию одной формулой, необходимо использовать определение модуля (абсолютной величины) числа.

Исходная функция задана так:

$y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0 \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Вспомним определение модуля числа $x$:

$|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Сравнивая определение модуля с заданной функцией, мы видим, что выражения для $y$ в обоих случаях состоят из двух слагаемых. Второе слагаемое, $+2$, является постоянным и не зависит от знака $x$.

Первое слагаемое в выражении для $y$ полностью совпадает с определением модуля:

• при $x < 0$ оно равно $-x$;
• при $x \ge 0$ оно равно $x$.

Таким образом, мы можем заменить кусочно-заданную часть функции $\begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ на ее эквивалент, то есть на $|x|$.

Добавив к этому постоянное слагаемое $+2$, мы получаем единую формулу для всей функции:

$y = |x| + 2$

Проверим правильность полученной формулы:

• Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Наша формула дает $y = -x + 2$. Это совпадает с первым условием исходной функции.
• Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Наша формула дает $y = x + 2$. Это совпадает со вторым условием исходной функции.

Следовательно, формула верна.

Ответ: $y = |x| + 2$

341. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 3 - x, & \text{если } 1 \le x \le 4 \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-линейной и задается формулой $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$. Ее график будет состоять из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. Рассмотрим первую часть функции: $y = -x$ при условии $x < -1$.

Графиком этой функции является прямая линия. Поскольку нас интересует только промежуток $x < -1$, мы построим луч. Для этого найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: найдем значение функции в точке $x = -1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), эта точка не будет принадлежать графику, и мы обозначим ее как "выколотую" (пустой кружок). При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Координаты выколотой точки: $(-1, 1)$.
• Контрольная точка: выберем любое значение $x$, удовлетворяющее условию $x < -1$, например, $x = -2$. Тогда $y = -(-2) = 2$. Координаты точки: $(-2, 2)$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, который начинается в выколотой точке $(-1, 1)$ и проходит через точку $(-2, 2)$, уходя влево и вверх.

2. Рассмотрим вторую часть функции: $y = x$ при условии $x \ge -1$.

Это также линейная функция, и ее график — луч. Найдем его начальную точку и еще одну точку для построения:

• Граничная точка: при $x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), эта точка принадлежит графику, и мы обозначим ее как "закрашенную" (сплошной кружок). При $x = -1$, $y = -1$. Координаты начальной точки луча: $(-1, -1)$.
• Контрольная точка: выберем любое значение $x > -1$, например, $x = 1$. Тогда $y = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.

Вторая часть графика — это луч, который начинается в закрашенной точке $(-1, -1)$ и проходит через точку $(1, 1)$, уходя вправо и вверх.

Объединив обе части на координатной плоскости, мы получим полный график функции. В точке $x = -1$ функция имеет скачок (разрыв первого рода).

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — луч прямой $y = -x$, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$ и направленный влево и вверх. Второй — луч прямой $y = x$, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$ и направленный вправо и вверх.

б)

Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 3-x, & \text{если } 1 \le x \le 4 \end{cases}$. Ее график состоит из двух отрезков.

1. Построим график функции $y = 2x$ на отрезке $[-1, 1)$.

Это отрезок прямой линии. Для его построения найдем координаты его конечных точек:

• Левый конец: при $x = -1$. Точка принадлежит промежутку ($-1 \le x$), поэтому она будет закрашенной. $y = 2(-1) = -2$. Координаты: $(-1, -2)$.
• Правый конец: при $x = 1$. Точка не принадлежит промежутку ($x < 1$), поэтому она будет выколотой. $y = 2(1) = 2$. Координаты: $(1, 2)$.

Первая часть графика — это отрезок, соединяющий закрашенную точку $(-1, -2)$ и выколотую точку $(1, 2)$.

2. Построим график функции $y = 3-x$ на отрезке $[1, 4]$.

Это также отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• Левый конец: при $x = 1$. Точка принадлежит промежутку ($1 \le x$), поэтому она будет закрашенной. $y = 3-1 = 2$. Координаты: $(1, 2)$.
• Правый конец: при $x = 4$. Точка принадлежит промежутку ($x \le 4$), поэтому она также будет закрашенной. $y = 3-4 = -1$. Координаты: $(4, -1)$.

Вторая часть графика — это отрезок, соединяющий закрашенные точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$.

При объединении двух частей на одной плоскости выколотая точка $(1, 2)$ из первой части "заполняется" начальной точкой второй части. В результате получается непрерывная ломаная линия.

Ответ: График функции — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков. Первый отрезок соединяет точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$. Второй отрезок соединяет точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$.

344. На рисунке 51 изображён график функции, область определения которой есть множество значений $x$, таких, что $-2 \le x \le 6$. Задайте эту функцию аналитически.

Рис. 51

Для того чтобы задать данную функцию аналитически, необходимо описать каждый из ее линейных участков отдельной формулой, указав для каждой формулы соответствующий промежуток по оси $x$. График состоит из трех таких участков, и область определения функции — это множество значений $x$ таких, что $-2 \le x \le 6$.

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Сначала найдем угловой коэффициент $k$ (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох): $k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Теперь, зная коэффициент $k_1=1$, подставим координаты одной из точек, например $(1, 2)$, в уравнение $y = 1 \cdot x + b$ для нахождения коэффициента $b$: $2 = 1 \cdot 1 + b$, откуда $b = 1$. Таким образом, для $-2 \le x \le 1$ функция задается уравнением $y = x + 1$.

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(1, 2)$ и $(3, 0)$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Подставим коэффициент $k_2=-1$ и координаты точки $(3, 0)$ в уравнение $y = -1 \cdot x + b$: $0 = -1 \cdot 3 + b$, откуда $b = 3$. Таким образом, для $1 < x \le 3$ функция задается уравнением $y = -x + 3$.

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(3, 0)$ и $(6, 3)$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k_3 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{6 - 3} = \frac{3}{3} = 1$. Подставим коэффициент $k_3=1$ и координаты точки $(3, 0)$ в уравнение $y = 1 \cdot x + b$: $0 = 1 \cdot 3 + b$, откуда $b = -3$. Таким образом, для $3 < x \le 6$ функция задается уравнением $y = x - 3$.

Объединяя все три полученных уравнения, запишем аналитическое выражение для функции на всей области определения $-2 \le x \le 6$.

Ответ: $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -x+3, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x-3, & \text{если } 3 < x \le 6 \end{cases}$