Страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

369. График некоторой линейной функции вида $y = kx + 1$ параллелен графику функции $y = -0,4x$. Найдите значение коэффициента $k$ и выясните, принадлежит ли этому графику точка $M(50; -19)$.

Найдите значение коэффициента k

Общий вид линейной функции — $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом. Условием параллельности графиков двух линейных функций является равенство их угловых коэффициентов.

Нам даны две функции: $y = kx + 1$ и $y = -0.4x$. Угловой коэффициент первой функции равен $k$. Угловой коэффициент второй функции равен $-0.4$. Так как по условию задачи графики этих функций параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны.

Следовательно, $k = -0.4$.

Ответ: $k = -0.4$.

Выясните, принадлежит ли этому графику точка M(50; -19)

Зная значение коэффициента $k$, мы можем записать уравнение первой функции: $y = -0.4x + 1$. Чтобы определить, принадлежит ли точка $M(50; -19)$ графику этой функции, необходимо подставить её координаты ($x = 50$, $y = -19$) в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

Подставляем значения в уравнение:

$-19 = -0.4 \cdot 50 + 1$

Выполняем вычисления в правой части:

$-0.4 \cdot 50 = -20$

$-20 + 1 = -19$

В результате получаем равенство:

$-19 = -19$

Поскольку равенство верное, точка $M(50; -19)$ принадлежит графику функции $y = -0.4x + 1$.

Ответ: Да, точка M(50; -19) принадлежит этому графику.

372. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:

а) $y = 4x + 9$ и $y = 6x - 5$;

б) $y = 16x - 7$ и $y = 21x + 8$;

в) $y = 10x - 7$ и $y = 5$;

г) $y = 0,1x$ и $y = 14$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, не выполняя построения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$ из обоих уравнений и решить получившееся уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем соответствующее значение $y$.

а) Даны функции $y = 4x + 9$ и $y = 6x - 5$.
Приравняем правые части уравнений:
$4x + 9 = 6x - 5$
Соберем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$9 + 5 = 6x - 4x$
$14 = 2x$
$x = \frac{14}{2}$
$x = 7$
Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 4 \cdot 7 + 9 = 28 + 9 = 37$
Координаты точки пересечения — $(7; 37)$.
Ответ: $(7; 37)$.

б) Даны функции $y = 16x - 7$ и $y = 21x + 8$.
Приравняем правые части уравнений:
$16x - 7 = 21x + 8$
Перенесем слагаемые:
$-7 - 8 = 21x - 16x$
$-15 = 5x$
$x = \frac{-15}{5}$
$x = -3$
Подставим значение $x$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:
$y = 21 \cdot (-3) + 8 = -63 + 8 = -55$
Координаты точки пересечения — $(-3; -55)$.
Ответ: $(-3; -55)$.

в) Даны функции $y = 10x - 7$ и $y = 5$.
Приравняем правые части уравнений:
$10x - 7 = 5$
Решим уравнение относительно $x$:
$10x = 5 + 7$
$10x = 12$
$x = \frac{12}{10}$
$x = 1,2$
Значение $y$ уже дано во втором уравнении: $y = 5$.
Координаты точки пересечения — $(1,2; 5)$.
Ответ: $(1,2; 5)$.

г) Даны функции $y = 0,1x$ и $y = 14$.
Приравняем правые части уравнений:
$0,1x = 14$
Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{14}{0,1}$
$x = 140$
Значение $y$ дано во втором уравнении: $y = 14$.
Координаты точки пересечения — $(140; 14)$.
Ответ: $(140; 14)$.

370. Задайте формулой линейную функцию, графиком которой служит прямая, проходящая через точку $A(2; 3)$ и параллельная графику функции $y = 1.5x - 3$. Постройте её график.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ - это угловой коэффициент, а $b$ - это сдвиг по оси ординат.

1. Нахождение формулы функции.

По условию задачи, график искомой функции параллелен графику функции $y = 1,5x - 3$. Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной функции $y = 1,5x - 3$ равен $1,5$. Следовательно, угловой коэффициент искомой функции также $k = 1,5$.

Таким образом, формула искомой функции принимает вид $y = 1,5x + b$.

Нам известно, что график этой функции проходит через точку A с координатами (2; 3). Это значит, что при подстановке $x=2$ и $y=3$ в формулу функции, мы получим верное равенство. Подставим эти значения, чтобы найти коэффициент $b$:

$3 = 1,5 \cdot 2 + b$

$3 = 3 + b$

Вычитая 3 из обеих частей уравнения, получаем:

$b = 0$

Теперь мы знаем оба коэффициента: $k = 1,5$ и $b = 0$. Подставив их в общую формулу, получаем искомую функцию:

$y = 1,5x + 0$

или просто

$y = 1,5x$

2. Построение графика.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно знать координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Одна точка нам уже дана в условии — это точка A(2; 3).

Для нахождения второй точки подставим в полученную формулу $y = 1,5x$ любое удобное значение $x$. Например, возьмем $x = 0$:

$y = 1,5 \cdot 0 = 0$

Таким образом, вторая точка — это начало координат, точка B(0; 0).

Для построения графика необходимо:

1. Начертить систему координат с осями Ox и Oy.
2. Отметить на ней точку A(2; 3) (сместиться на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy).
3. Отметить точку B(0; 0) (начало координат).
4. Провести через точки A и B прямую линию с помощью линейки. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = 1,5x$.

Ответ: Формула искомой функции: $y = 1,5x$. График этой функции — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; 3).

373. Графики линейных функций $y = 3x + 2$, $y = -2x + 3$ и $y = 0,5x - 2$ ограничивают треугольник. Лежит ли начало координат внутри этого треугольника?

Для того чтобы определить, лежит ли начало координат (точка с координатами $(0, 0)$) внутри треугольника, ограниченного графиками заданных функций, мы можем представить этот треугольник в виде системы линейных неравенств. Если координаты точки $(0, 0)$ удовлетворяют этой системе, то она лежит внутри треугольника.

Даны три линейные функции:

• $l_1: y = 3x + 2$
• $l_2: y = -2x + 3$
• $l_3: y = 0.5x - 2$

Каждая линия делит плоскость на две полуплоскости. Треугольник представляет собой область пересечения трех таких полуплоскостей. Чтобы определить, какие именно полуплоскости образуют треугольник (знаки неравенств: $>, <$), найдем сначала вершины треугольника, которые являются точками попарного пересечения этих прямых.

1. Нахождение вершин треугольника.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_2$):

$3x + 2 = -2x + 3$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5} = 0.2$

$y = 3(\frac{1}{5}) + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5} = 2.6$

Координаты вершины A: $(\frac{1}{5}, \frac{13}{5})$.

Вершина B (пересечение $l_2$ и $l_3$):

$-2x + 3 = 0.5x - 2$

$5 = 2.5x$

$x = \frac{5}{2.5} = 2$

$y = 0.5(2) - 2 = 1 - 2 = -1$

Координаты вершины B: $(2, -1)$.

Вершина C (пересечение $l_1$ и $l_3$):

$3x + 2 = 0.5x - 2$

$2.5x = -4$

$x = \frac{-4}{2.5} = -\frac{4}{5/2} = -\frac{8}{5} = -1.6$

$y = 3(-\frac{8}{5}) + 2 = -\frac{24}{5} + \frac{10}{5} = -\frac{14}{5} = -2.8$

Координаты вершины C: $(-\frac{8}{5}, -\frac{14}{5})$.

2. Составление системы неравенств.

Теперь определим знаки неравенств для каждой прямой так, чтобы они описывали внутреннюю область треугольника. Для этого подставим координаты третьей вершины (которая не лежит на данной прямой) в уравнение прямой.

• Для прямой $l_1: y = 3x + 2$. Третья вершина — B(2, -1).
  Подставим ее координаты: $y_B$ и $3x_B + 2$.
  $-1$ и $3(2) + 2 = 8$.
  Так как $-1 < 8$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y < 3x + 2$.
• Для прямой $l_2: y = -2x + 3$. Третья вершина — C(-1.6, -2.8).
  Подставим ее координаты: $y_C$ и $-2x_C + 3$.
  $-2.8$ и $-2(-1.6) + 3 = 3.2 + 3 = 6.2$.
  Так как $-2.8 < 6.2$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y < -2x + 3$.
• Для прямой $l_3: y = 0.5x - 2$. Третья вершина — A(0.2, 2.6).
  Подставим ее координаты: $y_A$ и $0.5x_A - 2$.
  $2.6$ и $0.5(0.2) - 2 = 0.1 - 2 = -1.9$.
  Так как $2.6 > -1.9$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y > 0.5x - 2$.

Таким образом, область треугольника задается системой неравенств:

$\begin{cases}y < 3x + 2 \\y < -2x + 3 \\y > 0.5x - 2\end{cases}$

3. Проверка принадлежности начала координат.

Подставим координаты начала координат, точки $(0, 0)$, в полученную систему неравенств:

$\begin{cases}0 < 3(0) + 2 \\0 < -2(0) + 3 \\0 > 0.5(0) - 2\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases}0 < 2 & \text{(верно)} \\0 < 3 & \text{(верно)} \\0 > -2 & \text{(верно)}\end{cases}$

Все три неравенства верны. Это означает, что точка $(0, 0)$ удовлетворяет системе неравенств, описывающей треугольник.

Ответ: Да, начало координат лежит внутри этого треугольника.

368. Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций $y = ax$ и $y = bx$, если:

a) $a > 0, b > 0$ и $a > b$;

б) $a < 0, b < 0$ и $|a| < |b|$.

Функции вида $y = kx$ представляют собой прямые пропорциональности, графиком которых является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к оси Ox.

• Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|k|$, тем "круче" идет график, то есть линия расположена ближе к оси Oy.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Даны условия: $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.

Поскольку оба коэффициента $a$ и $b$ положительны, оба графика функций $y = ax$ и $y = bx$ будут проходить через начало координат и располагаться в I и III координатных четвертях.

Условие $a > b > 0$ означает, что угловой коэффициент $a$ больше углового коэффициента $b$. Следовательно, абсолютное значение $|a|$ также больше абсолютного значения $|b|$ (так как $a$ и $b$ положительны). Это значит, что график функции $y = ax$ будет иметь больший угол наклона к оси Ox, то есть будет расположен "круче" (ближе к оси Oy), чем график функции $y = bx$.

В первой четверти (где $x > 0$), из неравенства $a > b$ следует, что $ax > bx$, поэтому прямая $y = ax$ будет лежать выше прямой $y = bx$. В третьей четверти (где $x < 0$), при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому $ax < bx$, и прямая $y = ax$ будет лежать ниже прямой $y = bx$.

Ответ:
Схематически расположение графиков выглядит следующим образом:

б) Даны условия: $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

Поскольку оба коэффициента $a$ и $b$ отрицательны, оба графика функций $y = ax$ и $y = bx$ будут проходить через начало координат и располагаться во II и IV координатных четвертях.

Условие $|a| < |b|$ означает, что абсолютное значение углового коэффициента $a$ меньше абсолютного значения углового коэффициента $b$. Это значит, что график функции $y = ax$ будет иметь меньший угол наклона к оси Ox (будет более "пологим" и расположен ближе к оси Ox), чем график функции $y = bx$, который будет "круче" и ближе к оси Oy.

Из условий $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$ следует, что $a > b$. Например, если $b = -3$, то $a$ может быть $-2$, так как $|-2| < |-3|$ и $-2 > -3$.

В четвертой четверти (где $x > 0$), из неравенства $a > b$ следует, что $ax > bx$, поэтому прямая $y = ax$ будет лежать выше прямой $y = bx$ (ближе к оси Ox). Во второй четверти (где $x < 0$), при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому $ax < bx$, и прямая $y = ax$ будет лежать ниже прямой $y = bx$.

Ответ:
Схематически расположение графиков выглядит следующим образом:

371. График линейной функции — прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $M(5; 8)$. Задайте эту функцию формулой.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$.

По условию задачи, график функции — это прямая, параллельная оси абсцисс. Ось абсцисс — это ось $Ox$. У любой прямой, параллельной оси $Ox$, угловой коэффициент $k$ равен нулю. Это связано с тем, что такая прямая не имеет наклона относительно оси абсцисс.

Подставим $k=0$ в общую формулу линейной функции:

$y = 0 \cdot x + b$

Уравнение упрощается до вида:

$y = b$

Это уравнение означает, что для любого значения $x$ значение функции $y$ будет постоянным и равным $b$.

Также нам дано, что прямая проходит через точку $M(5; 8)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Поскольку для любой точки на данной прямой ордината (координата $y$) постоянна, она должна быть равна ординате точки $M$. Ордината точки $M$ равна 8. Следовательно, $b=8$.

Таким образом, искомая функция задается формулой $y=8$.

Ответ: $y = 8$