Номер 368, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 368, страница 92.

Условие.

368. Покажите схематически в одной координатной плоскости, как расположены графики функций $y = ax$ и $y = bx$, если:

a) $a > 0, b > 0$ и $a > b$;

б) $a < 0, b < 0$ и $|a| < |b|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Функции вида $y = kx$ представляют собой прямые пропорциональности, графиком которых является прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0, 0)$). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к оси Ox.

• Если $k > 0$, то график функции расположен в I и III координатных четвертях.
• Если $k < 0$, то график функции расположен во II и IV координатных четвертях.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|k|$, тем "круче" идет график, то есть линия расположена ближе к оси Oy.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Даны условия: $a > 0$, $b > 0$ и $a > b$.

Поскольку оба коэффициента $a$ и $b$ положительны, оба графика функций $y = ax$ и $y = bx$ будут проходить через начало координат и располагаться в I и III координатных четвертях.

Условие $a > b > 0$ означает, что угловой коэффициент $a$ больше углового коэффициента $b$. Следовательно, абсолютное значение $|a|$ также больше абсолютного значения $|b|$ (так как $a$ и $b$ положительны). Это значит, что график функции $y = ax$ будет иметь больший угол наклона к оси Ox, то есть будет расположен "круче" (ближе к оси Oy), чем график функции $y = bx$.

В первой четверти (где $x > 0$), из неравенства $a > b$ следует, что $ax > bx$, поэтому прямая $y = ax$ будет лежать выше прямой $y = bx$. В третьей четверти (где $x < 0$), при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому $ax < bx$, и прямая $y = ax$ будет лежать ниже прямой $y = bx$.

Ответ:
Схематически расположение графиков выглядит следующим образом:

б) Даны условия: $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

Поскольку оба коэффициента $a$ и $b$ отрицательны, оба графика функций $y = ax$ и $y = bx$ будут проходить через начало координат и располагаться во II и IV координатных четвертях.

Условие $|a| < |b|$ означает, что абсолютное значение углового коэффициента $a$ меньше абсолютного значения углового коэффициента $b$. Это значит, что график функции $y = ax$ будет иметь меньший угол наклона к оси Ox (будет более "пологим" и расположен ближе к оси Ox), чем график функции $y = bx$, который будет "круче" и ближе к оси Oy.

Из условий $a < 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$ следует, что $a > b$. Например, если $b = -3$, то $a$ может быть $-2$, так как $|-2| < |-3|$ и $-2 > -3$.

В четвертой четверти (где $x > 0$), из неравенства $a > b$ следует, что $ax > bx$, поэтому прямая $y = ax$ будет лежать выше прямой $y = bx$ (ближе к оси Ox). Во второй четверти (где $x < 0$), при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется, поэтому $ax < bx$, и прямая $y = ax$ будет лежать ниже прямой $y = bx$.

Ответ:
Схематически расположение графиков выглядит следующим образом: