Номер 373, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 373, страница 92.

Условие.

373. Графики линейных функций $y = 3x + 2$, $y = -2x + 3$ и $y = 0,5x - 2$ ограничивают треугольник. Лежит ли начало координат внутри этого треугольника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, лежит ли начало координат (точка с координатами $(0, 0)$) внутри треугольника, ограниченного графиками заданных функций, мы можем представить этот треугольник в виде системы линейных неравенств. Если координаты точки $(0, 0)$ удовлетворяют этой системе, то она лежит внутри треугольника.

Даны три линейные функции:

• $l_1: y = 3x + 2$
• $l_2: y = -2x + 3$
• $l_3: y = 0.5x - 2$

Каждая линия делит плоскость на две полуплоскости. Треугольник представляет собой область пересечения трех таких полуплоскостей. Чтобы определить, какие именно полуплоскости образуют треугольник (знаки неравенств: $>, <$), найдем сначала вершины треугольника, которые являются точками попарного пересечения этих прямых.

1. Нахождение вершин треугольника.

Вершина A (пересечение $l_1$ и $l_2$):

$3x + 2 = -2x + 3$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5} = 0.2$

$y = 3(\frac{1}{5}) + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5} = 2.6$

Координаты вершины A: $(\frac{1}{5}, \frac{13}{5})$.

Вершина B (пересечение $l_2$ и $l_3$):

$-2x + 3 = 0.5x - 2$

$5 = 2.5x$

$x = \frac{5}{2.5} = 2$

$y = 0.5(2) - 2 = 1 - 2 = -1$

Координаты вершины B: $(2, -1)$.

Вершина C (пересечение $l_1$ и $l_3$):

$3x + 2 = 0.5x - 2$

$2.5x = -4$

$x = \frac{-4}{2.5} = -\frac{4}{5/2} = -\frac{8}{5} = -1.6$

$y = 3(-\frac{8}{5}) + 2 = -\frac{24}{5} + \frac{10}{5} = -\frac{14}{5} = -2.8$

Координаты вершины C: $(-\frac{8}{5}, -\frac{14}{5})$.

2. Составление системы неравенств.

Теперь определим знаки неравенств для каждой прямой так, чтобы они описывали внутреннюю область треугольника. Для этого подставим координаты третьей вершины (которая не лежит на данной прямой) в уравнение прямой.

• Для прямой $l_1: y = 3x + 2$. Третья вершина — B(2, -1).
  Подставим ее координаты: $y_B$ и $3x_B + 2$.
  $-1$ и $3(2) + 2 = 8$.
  Так как $-1 < 8$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y < 3x + 2$.
• Для прямой $l_2: y = -2x + 3$. Третья вершина — C(-1.6, -2.8).
  Подставим ее координаты: $y_C$ и $-2x_C + 3$.
  $-2.8$ и $-2(-1.6) + 3 = 3.2 + 3 = 6.2$.
  Так как $-2.8 < 6.2$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y < -2x + 3$.
• Для прямой $l_3: y = 0.5x - 2$. Третья вершина — A(0.2, 2.6).
  Подставим ее координаты: $y_A$ и $0.5x_A - 2$.
  $2.6$ и $0.5(0.2) - 2 = 0.1 - 2 = -1.9$.
  Так как $2.6 > -1.9$, то для всех точек внутри треугольника должно выполняться неравенство $y > 0.5x - 2$.

Таким образом, область треугольника задается системой неравенств:

$\begin{cases}y < 3x + 2 \\y < -2x + 3 \\y > 0.5x - 2\end{cases}$

3. Проверка принадлежности начала координат.

Подставим координаты начала координат, точки $(0, 0)$, в полученную систему неравенств:

$\begin{cases}0 < 3(0) + 2 \\0 < -2(0) + 3 \\0 > 0.5(0) - 2\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases}0 < 2 & \text{(верно)} \\0 < 3 & \text{(верно)} \\0 > -2 & \text{(верно)}\end{cases}$

Все три неравенства верны. Это означает, что точка $(0, 0)$ удовлетворяет системе неравенств, описывающей треугольник.

Ответ: Да, начало координат лежит внутри этого треугольника.