Страница 96 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

375. Назовите основание и показатель степени:

а) $3,5^4$;

б) $(-0,1)^3$;

в) $(-100)^4$;

г) $(-a)^6$;

д) $(\frac{1}{2}x)^5$.

Используя определение степени, представьте степень в виде произведения.

Для решения этой задачи необходимо использовать определение степени. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ называется основанием степени, а число $n$ — показателем степени. Выглядит это так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.

а) Для степени $3,5^4$:
Основание степени — это число, которое возводится в степень, то есть 3,5.
Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя, то есть 4.
Представим эту степень в виде произведения, умножив 3,5 само на себя 4 раза:
$3,5^4 = 3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5$.
Ответ: основание 3,5, показатель 4; $3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5$.

б) Для степени $(-0,1)^3$:
Основание степени — это число -0,1 (так как оно стоит в скобках).
Показатель степени — 3.
Представим эту степень в виде произведения, умножив (-0,1) само на себя 3 раза:
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1)$.
Ответ: основание -0,1, показатель 3; $(-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1)$.

в) Для степени $(-100)^4$:
Основание степени — -100.
Показатель степени — 4.
Представим эту степень в виде произведения, умножив (-100) само на себя 4 раза:
$(-100)^4 = (-100) \cdot (-100) \cdot (-100) \cdot (-100)$.
Ответ: основание -100, показатель 4; $(-100) \cdot (-100) \cdot (-100) \cdot (-100)$.

г) Для степени $(-a)^6$:
Основание степени — это выражение $-a$.
Показатель степени — 6.
Представим эту степень в виде произведения, умножив $(-a)$ само на себя 6 раз:
$(-a)^6 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$.
Ответ: основание $-a$, показатель 6; $(-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$.

д) Для степени $(\frac{1}{2}x)^5$:
Основание степени — это выражение $\frac{1}{2}x$.
Показатель степени — 5.
Представим эту степень в виде произведения, умножив $(\frac{1}{2}x)$ само на себя 5 раз:
$(\frac{1}{2}x)^5 = (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x)$.
Ответ: основание $\frac{1}{2}x$, показатель 5; $(\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x)$.

378. Вычислите с помощью калькулятора:

а) $4.15^3$;

б) $(-0.98)^5$;

в) $1.42^6$;

г) $2.08^3 : 1.56$;

д) $1.67^4 \cdot 8.3$.

а) Чтобы вычислить $4,15^3$, необходимо возвести число 4,15 в третью степень. Это эквивалентно умножению числа 4,15 на само себя три раза: $4,15 \cdot 4,15 \cdot 4,15$.
Выполним вычисления по шагам:
1. $4,15 \cdot 4,15 = 17,2225$
2. $17,2225 \cdot 4,15 = 71,463375$
Ответ: $71,463375$.

б) Чтобы вычислить $(-0,98)^5$, необходимо возвести отрицательное число -0,98 в пятую степень. Поскольку показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным. Вычисление сводится к нахождению значения выражения $-(0,98^5)$.
$0,98^5 = 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 \cdot 0,98 = 0,9039207968$.
Следовательно, $(-0,98)^5 = -0,9039207968$.
Ответ: $-0,9039207968$.

в) Чтобы вычислить $1,42^6$, необходимо возвести число 1,42 в шестую степень. Это означает, что число 1,42 нужно умножить само на себя 6 раз.
$1,42^6 = 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 \cdot 1,42 = 8,198438334944$.
Ответ: $8,198438334944$.

г) Для вычисления выражения $2,08^3 : 1,56$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем деление.
1. Вычислим куб числа 2,08: $2,08^3 = 2,08 \cdot 2,08 \cdot 2,08 = 8,998912$.
2. Разделим результат на 1,56: $8,998912 : 1,56 = 5,7685333...$.
Результатом является бесконечная периодическая дробь. Округлим результат, например, до 6 знаков после запятой.
Ответ: $\approx 5,768533$.

д) Для вычисления выражения $1,67^4 \cdot 8,3$ необходимо сначала возвести число в степень, а затем выполнить умножение.
1. Вычислим четвертую степень числа 1,67: $1,67^4 = 1,67 \cdot 1,67 \cdot 1,67 \cdot 1,67 = 7,77796321$.
2. Умножим полученный результат на 8,3: $7,77796321 \cdot 8,3 = 64,557094643$.
Ответ: $64,557094643$.

381. Представьте:

а) в виде квадрата число: 0,81; 0,16; 144; $\frac{25}{169}$; $1\frac{24}{25}$; 0,0004;

б) в виде куба число: 64; -216; 0,008; $-\frac{1}{64}$; $4\frac{17}{27}$;

в) в виде степени десяти число: 10; 100; 1000; 1 000 000;

г) в виде степени пяти число: 125; 625; 15 625.

а) Чтобы представить число в виде квадрата, нужно найти число (квадратный корень), которое при умножении само на себя даст исходное число. Для каждого из предложенных чисел выполним это действие:
$0,81 = 0,9 \cdot 0,9 = 0,9^2$
$0,16 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,4^2$
$144 = 12 \cdot 12 = 12^2$
$\frac{25}{169} = \frac{5^2}{13^2} = (\frac{5}{13})^2$
Для смешанной дроби $1\frac{24}{25}$ сначала преобразуем ее в неправильную: $1\frac{24}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$. Тогда $\frac{49}{25} = \frac{7^2}{5^2} = (\frac{7}{5})^2$.
Для десятичной дроби $0,0004$ представим ее в виде обыкновенной: $0,0004 = \frac{4}{10000} = \frac{2^2}{100^2} = (\frac{2}{100})^2 = 0,02^2$.
Ответ: $0,81=0,9^2$; $0,16=0,4^2$; $144=12^2$; $\frac{25}{169}=(\frac{5}{13})^2$; $1\frac{24}{25}=(\frac{7}{5})^2$; $0,0004=0,02^2$.

б) Чтобы представить число в виде куба, нужно найти число (кубический корень), которое, будучи умноженным само на себя трижды, даст исходное число.
$64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$
$-216 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = (-6)^3$
$0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{2^3}{10^3} = (\frac{2}{10})^3 = 0,2^3$
$-\frac{1}{64} = \frac{(-1)^3}{4^3} = (-\frac{1}{4})^3$
Для смешанной дроби $4\frac{17}{27}$ сначала преобразуем ее в неправильную: $4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108+17}{27} = \frac{125}{27}$. Тогда $\frac{125}{27} = \frac{5^3}{3^3} = (\frac{5}{3})^3$.
Ответ: $64=4^3$; $-216=(-6)^3$; $0,008=0,2^3$; $-\frac{1}{64}=(-\frac{1}{4})^3$; $4\frac{17}{27}=(\frac{5}{3})^3$.

в) Чтобы представить число в виде степени десяти, нужно определить, в какую степень нужно возвести число 10. Показатель степени для чисел вида $10, 100, 1000, \dots$ равен количеству нулей.
$10 = 10^1$ (один нуль)
$100 = 10^2$ (два нуля)
$1000 = 10^3$ (три нуля)
$1 000 000 = 10^6$ (шесть нулей)
Ответ: $10=10^1$; $100=10^2$; $1000=10^3$; $1 000 000=10^6$.

г) Чтобы представить число в виде степени пяти, нужно найти показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить исходное число.
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$
$15 625 = 5^6$. Это можно проверить последовательным умножением: $5^4 = 625$, $5^5 = 625 \cdot 5 = 3125$, $5^6 = 3125 \cdot 5 = 15 625$.
Ответ: $125=5^3$; $625=5^4$; $15 625=5^6$.

384. Выполните действия:

а) $7 \cdot 5^2$;

б) $(7 \cdot 5)^2$;

в) $(-0,4)^3$;

г) $-0,4^3$;

д) $-3 \cdot 2^5$;

е) $-6^2 \cdot (-12)$.

а) В этом выражении сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение в соответствии с порядком действий.

1. Возводим 5 в квадрат: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

2. Умножаем 7 на полученный результат: $7 \cdot 25 = 175$.

$7 \cdot 5^2 = 7 \cdot 25 = 175$.

Ответ: 175.

б) В этом выражении сначала выполняется действие в скобках, а затем возведение в степень.

1. Выполняем умножение в скобках: $7 \cdot 5 = 35$.

2. Возводим результат в квадрат: $35^2 = 35 \cdot 35 = 1225$.

$(7 \cdot 5)^2 = 35^2 = 1225$.

Ответ: 1225.

в) В данном случае отрицательное число $-0,4$ возводится в третью степень. Поскольку степень нечетная (3), результат будет отрицательным.

$(-0,4)^3 = (-0,4) \cdot (-0,4) \cdot (-0,4)$.

1. $(-0,4) \cdot (-0,4) = 0,16$.

2. $0,16 \cdot (-0,4) = -0,064$.

Ответ: -0,064.

г) Здесь в степень возводится только число 0,4, так как оно не заключено в скобки со знаком минус. Знак минус относится ко всему результату.

1. Возводим 0,4 в куб: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.

2. Ставим знак минус перед результатом: $-0,064$.

$-0,4^3 = -(0,4^3) = -0,064$.

Ответ: -0,064.

д) Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение.

1. Возводим 2 в пятую степень: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

2. Умножаем -3 на полученный результат: $-3 \cdot 32 = -96$.

$-3 \cdot 2^5 = -3 \cdot 32 = -96$.

Ответ: -96.

е) Сначала выполняется возведение в степень, а затем умножение. В выражении $-6^2$ в квадрат возводится только число 6.

1. Возводим 6 в квадрат: $6^2 = 36$. Следовательно, $-6^2 = -36$.

2. Умножаем полученный результат на -12: $-36 \cdot (-12)$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $36 \cdot 12 = 432$.

$-6^2 \cdot (-12) = -36 \cdot (-12) = 432$.

Ответ: 432.

376. Выполните возведение в степень:

а) $2^4$;
б) $4^2$;
в) $5^3$;
г) $3^5$;
д) $(7,8)^2$;
е) $(-1,5)^3$;
ж) $(\frac{3}{4})^4$;
з) $(-\frac{2}{3})^5$;
и) $(1\frac{1}{3})^4$;
к) $(-2\frac{1}{2})^3$.

а) Чтобы возвести число 2 в 4-ю степень, необходимо умножить число 2 само на себя 4 раза.
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
Ответ: 16

б) Чтобы возвести число 4 во 2-ю степень (в квадрат), необходимо умножить число 4 само на себя.
$4^2 = 4 \times 4 = 16$.
Ответ: 16

в) Чтобы возвести число 5 в 3-ю степень (в куб), необходимо умножить число 5 само на себя 3 раза.
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$.
Ответ: 125

г) Чтобы возвести число 3 в 5-ю степень, необходимо умножить число 3 само на себя 5 раз.
$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 \times 3 = 81 \times 3 = 243$.
Ответ: 243

д) Чтобы возвести десятичную дробь 7,8 в квадрат, необходимо умножить ее саму на себя.
$(7,8)^2 = 7,8 \times 7,8 = 60,84$.
Ответ: 60,84

е) При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным. Необходимо возвести в куб модуль числа 1,5 и поставить перед результатом знак "минус".
$(-1,5)^3 = (-1,5) \times (-1,5) \times (-1,5) = 2,25 \times (-1,5) = -3,375$.
Ответ: -3,375

ж) Чтобы возвести обыкновенную дробь в степень, необходимо возвести в эту степень как числитель, так и знаменатель дроби.
$(\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4 \times 4} = \frac{81}{256}$.
Ответ: $\frac{81}{256}$

з) При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае 5) результат будет отрицательным. Необходимо возвести в 5-ю степень дробь $\frac{2}{3}$ и поставить перед результатом знак "минус".
$(-\frac{2}{3})^5 = -(\frac{2^5}{3^5}) = -\frac{32}{243}$.
Ответ: $-\frac{32}{243}$

и) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Затем возводим полученную дробь в 4-ю степень, возводя в эту степень числитель и знаменатель.
$(\frac{4}{3})^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$.
В конце преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, выделив целую часть.
$\frac{256}{81} = 3\frac{13}{81}$.
Ответ: $3\frac{13}{81}$

к) Сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$-2\frac{1}{2} = -\frac{2 \times 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.
При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (3) результат будет отрицательным.
$(-\frac{5}{2})^3 = -(\frac{5^3}{2^3}) = -\frac{125}{8}$.
В конце преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, выделив целую часть.
$-\frac{125}{8} = -15\frac{5}{8}$.
Ответ: $-15\frac{5}{8}$

379. Найдите с помощью калькулятора значение выражения:

а) $8,49^4$;

б) $(-1,062)^3$;

в) $2,73^5 \cdot 27,4$;

г) $(1,39 + 7,083)^3$.

а) Для вычисления значения выражения $8,494^4$ необходимо возвести число $8,494$ в четвертую степень. Это означает умножение числа $8,494$ на себя четыре раза.

Используя калькулятор, получаем:

$8,494^4 = 8,494 \cdot 8,494 \cdot 8,494 \cdot 8,494 = 5205,340320131216$

Ответ: $5205,340320131216$.

б) Для вычисления значения выражения $(-1,062)^3$ необходимо возвести отрицательное число $-1,062$ в третью степень. Поскольку показатель степени (3) является нечетным числом, результат будет отрицательным.

Используя калькулятор, получаем:

$(-1,062)^3 = (-1,062) \cdot (-1,062) \cdot (-1,062) = -1,197770328$

Ответ: $-1,197770328$.

в) Для вычисления значения выражения $2,73^5 \cdot 27,4$ необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем умножение.

Выполним действия по порядку с помощью калькулятора:

1. Возводим $2,73$ в пятую степень: $2,73^5 = 151,6498185393$.

2. Умножаем полученный результат на $27,4$: $151,6498185393 \cdot 27,4 = 4155,20504696882$.

Ответ: $4155,20504696882$.

г) Для вычисления значения выражения $(1,39 + 7,083)^3$ необходимо сначала выполнить действие в скобках (сложение), а затем возвести результат в третью степень.

Выполним действия по порядку с помощью калькулятора:

1. Складываем числа в скобках: $1,39 + 7,083 = 8,473$.

2. Возводим полученную сумму в куб: $8,473^3 = 608,318855437$.

Ответ: $608,318855437$.

382. Представьте в виде квадрата или куба числа:

а) 8;

б) 81;

в) 125;

г) 64;

д) 0,001;

е) $3\frac{3}{8}$;

ж) $1\frac{11}{25}$.

а) Требуется представить число 8 в виде квадрата или куба. Это значит, что нужно найти такое число $x$, для которого $x^2 = 8$ или $x^3 = 8$. Проверим степени небольших целых чисел. Квадраты: $2^2 = 4$, $3^2 = 9$. Число 8 не является квадратом целого числа. Проверим кубы: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Таким образом, число 8 является кубом числа 2.
Ответ: $2^3$

б) Ищем число $x$, для которого $x^2 = 81$ или $x^3 = 81$. Проверяем квадраты: $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$. Значит, 81 является квадратом числа 9. Проверим, является ли 81 кубом: $4^3=64$, $5^3=125$. Число 81 не является кубом целого числа.
Ответ: $9^2$

в) Ищем число $x$, для которого $x^2 = 125$ или $x^3 = 125$. Проверяем квадраты: $11^2=121$, $12^2=144$. Число 125 не является квадратом целого числа. Проверяем кубы. Так как число оканчивается на 5, его целый кубический корень (если он существует) тоже должен оканчиваться на 5. Проверим число 5: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Таким образом, число 125 является кубом числа 5.
Ответ: $5^3$

г) Ищем число $x$, для которого $x^2 = 64$ или $x^3 = 64$. Это число можно представить и как квадрат, и как куб. Как квадрат: $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$. Как куб: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$. Оба варианта являются правильным решением.
Ответ: $8^2$ или $4^3$

д) Чтобы представить число 0,001 в виде квадрата или куба, представим его в виде обыкновенной дроби: $0,001 = \frac{1}{1000}$. Теперь представим числитель и знаменатель в виде степеней. Числитель: $1 = 1^3$. Знаменатель: $1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$. Таким образом, $\frac{1}{1000} = \frac{1^3}{10^3} = (\frac{1}{10})^3$. Поскольку $\frac{1}{10} = 0,1$, то $0,001 = (0,1)^3$.
Ответ: $(0,1)^3$

е) Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$. Теперь нужно представить дробь $\frac{27}{8}$ в виде квадрата или куба. Представим числитель и знаменатель в виде степеней. Числитель: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$. Знаменатель: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Следовательно, $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$.
Ответ: $(\frac{3}{2})^3$

ж) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{11}{25}$ в неправильную дробь: $1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$. Теперь нужно представить дробь $\frac{36}{25}$ в виде квадрата или куба. Представим числитель и знаменатель в виде степеней. Числитель: $36 = 6 \cdot 6 = 6^2$. Знаменатель: $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$. Следовательно, $\frac{36}{25} = \frac{6^2}{5^2} = (\frac{6}{5})^2$.
Ответ: $(\frac{6}{5})^2$

377. Найдите значение степени:

а) $25^2$; в) $7^3$; д) $(-0,9)^3$; ж) $(-\frac{1}{2})^5$;

б) $8^4$; г) $7^5$; е) $(-2,4)^2$; з) $(-\frac{1}{2})^6$.

а) Чтобы найти значение степени $25^2$, нужно умножить число 25 само на себя, так как показатель степени равен 2.
$25^2 = 25 \times 25 = 625$
Ответ: 625

б) Чтобы найти значение степени $8^4$, нужно умножить число 8 само на себя четыре раза.
$8^4 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 64 \times 8 \times 8 = 512 \times 8 = 4096$
Или можно сгруппировать множители: $8^4 = (8 \times 8) \times (8 \times 8) = 64 \times 64 = 4096$
Ответ: 4096

в) Чтобы найти значение степени $7^3$, нужно умножить число 7 само на себя три раза.
$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$
Ответ: 343

г) Чтобы найти значение степени $7^5$, нужно умножить число 7 само на себя пять раз.
$7^5 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 49 \times 7 = 2401 \times 7 = 16807$
Ответ: 16807

д) Чтобы найти значение степени $(-0,9)^3$, нужно умножить число -0,9 само на себя три раза. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-0,9)^3 = (-0,9) \times (-0,9) \times (-0,9) = 0,81 \times (-0,9) = -0,729$
Ответ: -0,729

е) Чтобы найти значение степени $(-2,4)^2$, нужно умножить число -2,4 само на себя. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$(-2,4)^2 = (-2,4) \times (-2,4) = 5,76$
Ответ: 5,76

ж) Чтобы найти значение степени $(-\frac{1}{2})^5$, нужно возвести в пятую степень и числитель, и знаменатель дроби. Так как основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным.
$(-\frac{1}{2})^5 = \frac{(-1)^5}{2^5} = \frac{-1}{32} = -\frac{1}{32}$
Ответ: $-\frac{1}{32}$

з) Чтобы найти значение степени $(-\frac{1}{2})^6$, нужно возвести в шестую степень и числитель, и знаменатель дроби. Так как основание отрицательное, а показатель степени четный, результат будет положительным.
$(-\frac{1}{2})^6 = \frac{(-1)^6}{2^6} = \frac{1}{64}$
Ответ: $\frac{1}{64}$

380. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значения выражений $2^n$ и $3^n$ для каждого значения $n$ от 1 до 10. Выполним вычисления для каждой строки отдельно.

$2^n$

Вычислим значения для второй строки таблицы, где основание степени равно 2, а показатель $n$ изменяется от 1 до 10:
При $n=1$: $2^1 = 2$
При $n=2$: $2^2 = 4$
При $n=3$: $2^3 = 8$
При $n=4$: $2^4 = 16$
При $n=5$: $2^5 = 32$
При $n=6$: $2^6 = 64$
При $n=7$: $2^7 = 128$
При $n=8$: $2^8 = 256$
При $n=9$: $2^9 = 512$
При $n=10$: $2^{10} = 1024$
Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

$3^n$

Вычислим значения для третьей строки таблицы, где основание степени равно 3, а показатель $n$ изменяется от 1 до 10:
При $n=1$: $3^1 = 3$
При $n=2$: $3^2 = 9$
При $n=3$: $3^3 = 27$
При $n=4$: $3^4 = 81$
При $n=5$: $3^5 = 243$
При $n=6$: $3^6 = 729$
При $n=7$: $3^7 = 2187$
При $n=8$: $3^8 = 6561$
При $n=9$: $3^9 = 19683$
При $n=10$: $3^{10} = 59049$
Ответ: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049.

Итоговая заполненная таблица

383. Сравните:

а) $71^2$ и $0$;

б) $(-25)^3$ и $0$;

в) $(-5,9)^3$ и $(-5,9)^2$;

г) $(-2,3)^{12}$ и $(-8,6)^{19}$.

а) Сравним $71^2$ и $0$.

Число 71 является положительным. При возведении любого положительного числа в любую степень, результатом будет положительное число. В данном случае, $71^2 = 71 \cdot 71 = 5041$.
Также можно воспользоваться правилом: любое ненулевое число, возведенное в четную степень (в данном случае степень 2), всегда будет положительным.
Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $71^2 > 0$.
Ответ: $71^2 > 0$.

б) Сравним $(-25)^3$ и $0$.

Основание степени, $-25$, является отрицательным числом. Показатель степени, $3$, является нечетным числом.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат всегда будет отрицательным. $(-25)^3 = (-25) \cdot (-25) \cdot (-25) = 625 \cdot (-25) = -15625$.
Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $(-25)^3 < 0$.
Ответ: $(-25)^3 < 0$.

в) Сравним $(-5,9)^3$ и $(-5,9)^2$.

Для сравнения этих двух выражений достаточно определить их знаки.

Выражение $(-5,9)^3$ представляет собой отрицательное число, возведенное в нечетную степень (3). Результат будет отрицательным: $(-5,9)^3 < 0$.
Выражение $(-5,9)^2$ представляет собой отрицательное число, возведенное в четную степень (2). Результат будет положительным: $(-5,9)^2 > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Таким образом, $(-5,9)^3 < (-5,9)^2$.
Ответ: $(-5,9)^3 < (-5,9)^2$.

г) Сравним $(-2,3)^{12}$ и $(-8,6)^{19}$.

Для сравнения этих двух выражений также достаточно определить их знаки, не вычисляя точные значения.

Выражение $(-2,3)^{12}$ — это отрицательное число, возведенное в четную степень (12). Следовательно, его значение будет положительным: $(-2,3)^{12} > 0$.
Выражение $(-8,6)^{19}$ — это отрицательное число, возведенное в нечетную степень (19). Следовательно, его значение будет отрицательным: $(-8,6)^{19} < 0$.
Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Поэтому $(-2,3)^{12} > (-8,6)^{19}$.
Ответ: $(-2,3)^{12} > (-8,6)^{19}$.