Страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

402. Каково взаимное расположение графиков функций:

а) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$;

б) $y = \frac{2}{3}x + 4$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4?

Взаимное расположение графиков линейных функций, заданных уравнениями вида $y = kx + b$, определяется их угловыми коэффициентами $k$ и свободными членами $b$ (координата точки пересечения графика с осью $y$). Существуют три варианта взаимного расположения двух прямых на плоскости: 1. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \ne b_2$), то графики функций параллельны. 2. Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \ne k_2$), то графики функций пересекаются в одной точке. 3. Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики функций совпадают.

а) Рассмотрим функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$.
Для первой функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, а свободный член $b_1 = 3$.
Для второй функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$ угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, а свободный член $b_2 = -3$.
Сравниваем эти параметры:
Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = -\frac{1}{2}$.
Свободные члены различны: $b_1 \ne b_2$, так как $3 \ne -3$.
Поскольку угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, графики данных функций параллельны.
Ответ: графики функций параллельны.

б) Рассмотрим функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$.
Для первой функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, а свободный член $b_1 = 4$.
Для второй функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$ угловой коэффициент $k_2 = -\frac{2}{3}$, а свободный член $b_2 = 4$.
Сравниваем эти параметры:
Угловые коэффициенты различны: $k_1 \ne k_2$, так как $\frac{2}{3} \ne -\frac{2}{3}$.
Свободные члены равны: $b_1 = b_2 = 4$.
Поскольку угловые коэффициенты различны, графики данных функций пересекаются. Так как их свободные члены равны, точка их пересечения лежит на оси ординат и имеет координаты $(0, 4)$.
Ответ: графики функций пересекаются.

400. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции $y = 1,2x - 30$ с осью $x$ и осью $y$.

Пересечение с осью x
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью x), необходимо положить $y = 0$, так как у любой точки на оси x ордината равна нулю.
Подставим $y = 0$ в уравнение функции $y = 1,2x - 30$:
$0 = 1,2x - 30$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем $-30$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$1,2x = 30$
Найдем $x$:
$x = \frac{30}{1,2}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{300}{12}$
$x = 25$
Следовательно, точка пересечения с осью x имеет координаты $(25; 0)$.
Ответ: $(25; 0)$.

Пересечение с осью y
Для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат (осью y), необходимо положить $x = 0$, так как у любой точки на оси y абсцисса равна нулю.
Подставим $x = 0$ в уравнение функции $y = 1,2x - 30$:
$y = 1,2 \cdot 0 - 30$
$y = 0 - 30$
$y = -30$
Следовательно, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; -30)$.
Ответ: $(0; -30)$.

401. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

а) $y = -4x + 1.3$ и $y = x - 2.7;$

б) $y = -x + 8.1$ и $y = -3x + 7.9.$

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций, нужно приравнять их правые части, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков одинаковы.

Даны функции $y = -4x + 1.3$ и $y = x - 2.7$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-4x + 1.3 = x - 2.7$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$1.3 + 2.7 = x + 4x$

$4 = 5x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{4}{5} = 0.8$

Теперь найдем координату $y$, подставив полученное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Например, в $y = x - 2.7$:

$y = 0.8 - 2.7 = -1.9$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0.8; -1.9)$.

Ответ: $(0.8; -1.9)$

б) Аналогично поступим для функций $y = -x + 8.1$ и $y = -3x + 7.9$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-x + 8.1 = -3x + 7.9$

Сгруппируем слагаемые:

$3x - x = 7.9 - 8.1$

$2x = -0.2$

Находим $x$:

$x = \frac{-0.2}{2} = -0.1$

Теперь найдем координату $y$, подставив $x = -0.1$ в уравнение $y = -x + 8.1$:

$y = -(-0.1) + 8.1 = 0.1 + 8.1 = 8.2$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-0.1; 8.2)$.

Ответ: $(-0.1; 8.2)$