Страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

411. Представив в виде степени выражение, найдите его значение по таблице степеней числа 2, помещённой на форзаце учебника:

а) $2^4 \cdot 2$;

б) $2^6 \cdot 4$;

в) $8 \cdot 2^7$;

г) $16 \cdot 32$.

Для решения задачи представим каждое выражение в виде степени с основанием 2, используя свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Затем найдем значение полученной степени.

а) $2^4 \cdot 2$

Представим число 2 как $2^1$. Тогда выражение примет вид: $2^4 \cdot 2^1$.

Применяя свойство умножения степеней, сложим показатели: $2^{4+1} = 2^5$.

Теперь найдем значение $2^5$. По таблице степеней числа 2 (или путем вычисления $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$) получаем 32.

Ответ: 32

б) $2^6 \cdot 4$

Представим число 4 как степень с основанием 2. Так как $4 = 2^2$, выражение можно записать как $2^6 \cdot 2^2$.

Складываем показатели степеней: $2^{6+2} = 2^8$.

Найдем значение $2^8$ по таблице степеней. $2^8 = 256$.

Ответ: 256

в) $8 \cdot 2^7$

Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

Выражение принимает вид: $2^3 \cdot 2^7$.

Складываем показатели: $2^{3+7} = 2^{10}$.

Значение $2^{10}$ по таблице степеней равно 1024.

Ответ: 1024

г) $16 \cdot 32$

Представим оба множителя в виде степеней с основанием 2. Число 16 это $2^4$, а число 32 это $2^5$.

Наше выражение становится: $2^4 \cdot 2^5$.

Используем свойство умножения степеней и складываем показатели: $2^{4+5} = 2^9$.

Найдем значение $2^9$ по таблице степеней. $2^9 = 512$.

Ответ: 512

414. Представьте в виде степени частное:

а) $x^5 : x^3$;

б) $y^{10} : y^7$;

в) $a^{21} : a$;

г) $b^{19} : b^{18}$;

д) $c^{12} : c^3$;

е) $p^{20} : p^{10}$;

ж) $3^8 : 3^5$;

з) $0.7^9 : 0.7^4$.

Для решения данной задачи используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

Это правило можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при условии, что $a \ne 0$).

а) Для частного $x^5 : x^3$ основание равно $x$. Вычитаем показатели степеней:
$x^5 : x^3 = x^{5-3} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

б) Для частного $y^{10} : y^7$ основание равно $y$. Вычитаем показатели степеней:
$y^{10} : y^7 = y^{10-7} = y^3$.
Ответ: $y^3$.

в) Для частного $a^{21} : a$ следует помнить, что $a$ это то же самое, что и $a^1$. Основание равно $a$. Вычитаем показатели степеней:
$a^{21} : a = a^{21-1} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

г) Для частного $b^{19} : b^{18}$ основание равно $b$. Вычитаем показатели степеней:
$b^{19} : b^{18} = b^{19-18} = b^1 = b$.
Ответ: $b$.

д) Для частного $c^{12} : c^3$ основание равно $c$. Вычитаем показатели степеней:
$c^{12} : c^3 = c^{12-3} = c^9$.
Ответ: $c^9$.

е) Для частного $p^{20} : p^{10}$ основание равно $p$. Вычитаем показатели степеней:
$p^{20} : p^{10} = p^{20-10} = p^{10}$.
Ответ: $p^{10}$.

ж) Для частного $3^8 : 3^5$ основание равно 3. Вычитаем показатели степеней:
$3^8 : 3^5 = 3^{8-5} = 3^3$.
Ответ: $3^3$.

з) Для частного $0.7^9 : 0.7^4$ основание равно 0,7. Вычитаем показатели степеней:
$0.7^9 : 0.7^4 = 0.7^{9-4} = 0.7^5$.
Ответ: $0.7^5$.

417. Найдите значение дроби:

а) $\frac{8^6}{8^4};$

б) $\frac{0,8^7}{0,8^4};$

в) $\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3};$

г) $\frac{\left(1\frac{1}{2}\right)^4}{\left(1\frac{1}{2}\right)^2};$

д) $\frac{\left(-2\frac{1}{3}\right)^6}{\left(-2\frac{1}{3}\right)^3}.$

а) Для нахождения значения дроби воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

В данном случае основание $a=8$, показатель степени числителя $m=6$, а показатель степени знаменателя $n=4$.

$\frac{8^6}{8^4} = 8^{6-4} = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$.

б) Применим то же свойство степени для основания $a=0,8$, где $m=7$ и $n=4$.

$\frac{0,8^7}{0,8^4} = 0,8^{7-4} = 0,8^3$.

Вычислим значение: $0,8^3 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \cdot 0,8 = 0,512$.

Ответ: $0,512$.

в) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a=-0,3$, где $m=5$ и $n=3$.

$\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3} = (-0,3)^{5-3} = (-0,3)^2$.

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $(-0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.

Ответ: $0,09$.

г) В данном случае основание степени — смешанное число, но правило деления степеней остается тем же. Основание $a=1\frac{1}{2}$, $m=4$ и $n=2$.

$\frac{(1\frac{1}{2})^4}{(1\frac{1}{2})^2} = (1\frac{1}{2})^{4-2} = (1\frac{1}{2})^2$.

Для вычисления представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

д) Аналогично предыдущим пунктам, применим свойство деления степеней. Основание $a=-2\frac{1}{3}$, $m=6$ и $n=3$.

$\frac{(-2\frac{1}{3})^6}{(-2\frac{1}{3})^3} = (-2\frac{1}{3})^{6-3} = (-2\frac{1}{3})^3$.

Представим основание в виде неправильной дроби: $-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$.

Возведем в куб (нечетная степень), поэтому знак минус сохранится: $(-\frac{7}{3})^3 = -(\frac{7^3}{3^3}) = -\frac{343}{27}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $343 \div 27 = 12$ с остатком $19$. Таким образом, $-\frac{343}{27} = -12\frac{19}{27}$.

Ответ: $-12\frac{19}{27}$.

409. Запишите в виде степени выражение:

а) $m^3m^2m^8$;

б) $a^4a^3a^2$;

в) $xx^4x^4x$;

г) $n^5nn^3n^6$;

д) $7^8 \cdot 7 \cdot 7^4$;

е) $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5$.

Для решения всех пунктов задачи используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число или переменная без показателя степени имеет показатель 1, например, $a = a^1$.

а) В выражении $m^3m^2m^8$ все множители имеют одинаковое основание $m$. Чтобы представить это выражение в виде степени, сложим показатели:
$m^3m^2m^8 = m^{3+2+8} = m^{13}$.
Ответ: $m^{13}$.

б) В выражении $a^4a^3a^2$ все множители имеют одинаковое основание $a$. Складываем показатели степеней:
$a^4a^3a^2 = a^{4+3+2} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

в) В выражении $xx^4x^4x$ множители $x$ можно представить как $x^1$. Тогда выражение примет вид $x^1x^4x^4x^1$. Основание у всех множителей одинаковое и равно $x$. Складываем показатели:
$x^1x^4x^4x^1 = x^{1+4+4+1} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

г) В выражении $n^5nn^3n^6$ множитель $n$ равен $n^1$. Выражение можно переписать как $n^5n^1n^3n^6$. Основание у всех множителей общее и равно $n$. Складываем показатели:
$n^5n^1n^3n^6 = n^{5+1+3+6} = n^{15}$.
Ответ: $n^{15}$.

д) В выражении $7^8 \cdot 7 \cdot 7^4$ множитель 7 равен $7^1$. Все множители имеют основание 7. Складываем их показатели:
$7^8 \cdot 7^1 \cdot 7^4 = 7^{8+1+4} = 7^{13}$.
Ответ: $7^{13}$.

е) В выражении $5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5$ множитель 5 равен $5^1$. Все множители имеют основание 5. Складываем их показатели:
$5^1 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^5 = 5^{1+2+3+5} = 5^{11}$.
Ответ: $5^{11}$.

412. По таблице степеней числа 3, помещённой на форзаце учебника, найдите значение выражения, представив его в виде степени с основанием 3:

а) $3^2 \cdot 3^5;$

б) $81 \cdot 3^6;$

в) $9 \cdot 2187;$

г) $27 \cdot 243.$

а) Чтобы найти значение выражения $3^2 \cdot 3^5$, необходимо представить его в виде степени с основанием 3. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5} = 3^7$.
Теперь, используя таблицу степеней или выполнив вычисление, найдем значение $3^7$.
$3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2187$.
Ответ: $2187$.

б) Чтобы найти значение выражения $81 \cdot 3^6$, сначала представим число 81 в виде степени с основанием 3.
$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$81 \cdot 3^6 = 3^4 \cdot 3^6$.
Применяем свойство умножения степеней: $3^4 \cdot 3^6 = 3^{4+6} = 3^{10}$.
Найдем значение $3^{10}$.
$3^{10} = 59049$.
Ответ: $59049$.

в) Чтобы найти значение выражения $9 \cdot 2187$, представим оба множителя в виде степеней с основанием 3.
$9 = 3^2$.
Из таблицы степеней числа 3 известно, что $2187 = 3^7$.
Таким образом, выражение можно переписать как:
$9 \cdot 2187 = 3^2 \cdot 3^7$.
Используя свойство умножения степеней, получаем: $3^2 \cdot 3^7 = 3^{2+7} = 3^9$.
Найдем значение $3^9$.
$3^9 = 19683$.
Ответ: $19683$.

г) Чтобы найти значение выражения $27 \cdot 243$, представим каждый множитель в виде степени с основанием 3.
$27 = 3^3$.
$243 = 3^5$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$27 \cdot 243 = 3^3 \cdot 3^5$.
По свойству умножения степеней с одинаковым основанием: $3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$.
Найдем значение $3^8$.
$3^8 = 6561$.
Ответ: $6561$.

415. Выполните деление:

а) $p^{10} : p^6$;

б) $a^8 : a^4$;

в) $x^{15} : x^4$;

г) $y^9 : y$;

д) $10^{16} : 10^{12}$;

е) $2,3^{16} : 2,3^7$.

Для выполнения деления степеней с одинаковыми основаниями используется свойство частного степеней. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Это правило можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$, где $a \ne 0$, а $m$ и $n$ — натуральные числа, причем $m > n$.

а) Выполним деление $p^{10} : p^{6}$.
Основание степеней одинаковое и равно $p$. Применяем правило деления степеней:
$p^{10} : p^{6} = p^{10-6} = p^4$.
Ответ: $p^4$.

б) Выполним деление $a^8 : a^4$.
Основание степеней одинаковое и равно $a$. Применяем правило деления степеней:
$a^8 : a^4 = a^{8-4} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

в) Выполним деление $x^{15} : x^4$.
Основание степеней одинаковое и равно $x$. Применяем правило деления степеней:
$x^{15} : x^4 = x^{15-4} = x^{11}$.
Ответ: $x^{11}$.

г) Выполним деление $y^9 : y$.
Любое число или переменная без указания степени считается находящимся в первой степени, то есть $y = y^1$. Основание степеней одинаковое и равно $y$.
$y^9 : y = y^9 : y^1 = y^{9-1} = y^8$.
Ответ: $y^8$.

д) Выполним деление $10^{16} : 10^{12}$.
Основание степеней одинаковое и равно 10. Применяем правило деления степеней:
$10^{16} : 10^{12} = 10^{16-12} = 10^4$.
Можно также вычислить значение: $10^4 = 10000$.
Ответ: $10^4$.

е) Выполним деление $2,3^{16} : 2,3^7$.
Основание степеней одинаковое и равно 2,3. Применяем правило деления степеней:
$2,3^{16} : 2,3^7 = 2,3^{16-7} = 2,3^9$.
Ответ: $2,3^9$.

418. Вычислите:

а) $\frac{7^9 \cdot 7^5}{7^{12}}$;

б) $\frac{3^{15}}{3^5 \cdot 3^6}$;

в) $\frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}}$;

г) $\frac{0,6^{12}}{0,6^4 \cdot 0,6^5}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{7^9 \cdot 7^5}{7^{12}}$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$7^9 \cdot 7^5 = 7^{9+5} = 7^{14}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{7^{14}}{7^{12}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7^{14}}{7^{12}} = 7^{14-12} = 7^2$.
Вычислим полученное значение: $7^2 = 49$.
Ответ: 49

б) Для вычисления $\frac{3^{15}}{3^5 \cdot 3^6}$ сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$.
Теперь выражение принимает вид: $\frac{3^{15}}{3^{11}}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^{15}}{3^{11}} = 3^{15-11} = 3^4$.
Вычислим результат: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Ответ: 81

в) Вычислим значение выражения $\frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}}$. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5^{16} \cdot 5^4 = 5^{16+4} = 5^{20}$.
Получим дробь: $\frac{5^{20}}{5^{18}}$.
Теперь применим правило деления степеней, вычитая показатели: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2$.
Вычислим итоговое значение: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Чтобы вычислить $\frac{0,6^{12}}{0,6^4 \cdot 0,6^5}$, начнем с упрощения знаменателя по правилу умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$0,6^4 \cdot 0,6^5 = 0,6^{4+5} = 0,6^9$.
Выражение теперь выглядит так: $\frac{0,6^{12}}{0,6^9}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{0,6^{12}}{0,6^9} = 0,6^{12-9} = 0,6^3$.
Вычислим результат: $0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \cdot 0,6 = 0,216$.
Ответ: 0,216

410. Представьте в виде степени:

а) $5^8 \cdot 25$;

б) $3^{12} \cdot 27$;

в) $6^{15} \cdot 36$;

г) $2^9 \cdot 32$;

д) $0,4^5 \cdot 0,16$;

е) $0,001 \cdot 0,1^4$.

а) Чтобы представить произведение $5^8 \cdot 25$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Заметим, что число 25 является второй степенью числа 5, то есть $25 = 5^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать следующим образом: $5^8 \cdot 5^2$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.

Ответ: $5^{10}$.

б) Рассмотрим выражение $3^{12} \cdot 27$. Чтобы представить его в виде степени, приведем множители к общему основанию 3. Число 27 можно представить как $3^3$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Выражение принимает вид: $3^{12} \cdot 3^3$.

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$3^{12} \cdot 3^3 = 3^{12+3} = 3^{15}$.

Ответ: $3^{15}$.

в) Преобразуем выражение $6^{15} \cdot 36$. Общим основанием для обоих множителей является число 6. Представим число 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$.

Исходное выражение можно записать так: $6^{15} \cdot 6^2$.

По правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), имеем:

$6^{15} \cdot 6^2 = 6^{15+2} = 6^{17}$.

Ответ: $6^{17}$.

г) Рассмотрим выражение $2^9 \cdot 32$. Общее основание здесь 2. Представим число 32 как степень с основанием 2. Поскольку $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, то $32 = 2^5$.

Тогда выражение будет выглядеть так: $2^9 \cdot 2^5$.

Сложим показатели степеней по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^5 = 2^{9+5} = 2^{14}$.

Ответ: $2^{14}$.

д) Представим в виде степени выражение $0,4^5 \cdot 0,16$. Общим основанием является десятичная дробь 0,4. Заметим, что $0,16 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,4^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде: $0,4^5 \cdot 0,4^2$.

Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, получим:

$0,4^5 \cdot 0,4^2 = 0,4^{5+2} = 0,4^7$.

Ответ: $0,4^7$.

е) Рассмотрим выражение $0,001 \cdot 0,1^4$. Приведем множители к общему основанию 0,1. Число 0,001 можно представить как степень числа 0,1: $0,001 = 0,1^3$.

Тогда исходное выражение примет вид: $0,1^3 \cdot 0,1^4$.

Складывая показатели степеней с одинаковым основанием, имеем:

$0,1^3 \cdot 0,1^4 = 0,1^{3+4} = 0,1^7$.

Ответ: $0,1^7$.

413. Представьте выражение в виде степени с основанием c:

а) $(c^4)^2$;

б) $(c^2)^4$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. В общем виде это записывается так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) Представим выражение $(c^4)^2$ в виде степени с основанием $c$.

В данном случае основание $a=c$, первый показатель $m=4$, второй показатель $n=2$.

Применяя правило возведения степени в степень, мы перемножаем показатели:

$(c^4)^2 = c^{4 \cdot 2} = c^8$.

Ответ: $c^8$.

б) Представим выражение $(c^2)^4$ в виде степени с основанием $c$.

Здесь основание $a=c$, первый показатель $m=2$, второй показатель $n=4$.

Аналогично первому пункту, перемножаем показатели степеней:

$(c^2)^4 = c^{2 \cdot 4} = c^8$.

Ответ: $c^8$.

416. Найдите значение выражения:

а) $5^6 : 5^4$;

б) $10^{15} : 10^{12}$;

в) $0,5^{10} : 0,5^7$;

г) $\left(1 \frac{1}{3}\right)^8 : \left(1 \frac{1}{3}\right)^6$;

д) $2,73^{13} : 2,73^{12}$;

е) $\left(-\frac{2}{3}\right)^7 : \left(-\frac{2}{3}\right)^4$.

а) Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применяем это правило к выражению $5^6 : 5^4$.
$5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем свойство деления степеней к выражению $10^{15} : 10^{12}$.
$10^{15} : 10^{12} = 10^{15-12} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

в) Вычислим значение выражения $0,5^{10} : 0,5^7$, используя то же свойство.
$0,5^{10} : 0,5^7 = 0,5^{10-7} = 0,5^3$.
$0,5^3 = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$.
Ответ: 0,125

г) Найдем значение выражения $(1\frac{1}{3})^8 : (1\frac{1}{3})^6$.
Основания степеней одинаковы, поэтому вычитаем показатели: $(1\frac{1}{3})^{8-6} = (1\frac{1}{3})^2$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \times 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.
Теперь возводим дробь в квадрат: $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.
Преобразуем результат обратно в смешанное число: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.
Ответ: $1\frac{7}{9}$

д) Вычислим значение выражения $2,73^{13} : 2,73^{12}$.
$2,73^{13} : 2,73^{12} = 2,73^{13-12} = 2,73^1 = 2,73$.
Ответ: 2,73

е) Найдем значение выражения $(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4$.
Применяем свойство деления степеней: $(-\frac{2}{3})^{7-4} = (-\frac{2}{3})^3$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$(-\frac{2}{3})^3 = -(\frac{2^3}{3^3}) = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $-\frac{8}{27}$

419. Упростите выражение:

а) $x^n \cdot x^3$;

б) $a^2 \cdot a^m$;

в) $x \cdot x^n$;

г) $y^n : y^4$;

д) $c^9 : c^m$;

е) $k^n : k$.

а) Чтобы упростить выражение $x^n \cdot x^3$, необходимо использовать правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^p = a^{m+p}$. При умножении степеней их показатели складываются. В данном случае основание — $x$, а показатели — $n$ и $3$.
$x^n \cdot x^3 = x^{n+3}$.
Ответ: $x^{n+3}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^p = a^{m+p}$) к выражению $a^2 \cdot a^m$.
$a^2 \cdot a^m = a^{2+m}$.
Ответ: $a^{2+m}$

в) Любое число или переменная без явного показателя степени считается возведенным в первую степень, то есть $x = x^1$. Применяя правило умножения степеней к выражению $x \cdot x^n$, получаем:
$x^1 \cdot x^n = x^{1+n}$.
Ответ: $x^{1+n}$

г) Для упрощения выражения $y^n : y^4$ используется правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^p = a^{m-p}$. При делении степеней из показателя делимого вычитается показатель делителя. В данном случае основание — $y$.
$y^n : y^4 = y^{n-4}$.
Ответ: $y^{n-4}$

д) Используем правило деления степеней ($a^m : a^p = a^{m-p}$) для выражения $c^9 : c^m$.
$c^9 : c^m = c^{9-m}$.
Ответ: $c^{9-m}$

е) Переменная $k$ без указания степени равна $k^1$. Применяя правило деления степеней к выражению $k^n : k$, получаем:
$k^n : k^1 = k^{n-1}$.
Ответ: $k^{n-1}$