Номер 417, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 417, страница 102.

Условие.

417. Найдите значение дроби:

а) $\frac{8^6}{8^4};$

б) $\frac{0,8^7}{0,8^4};$

в) $\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3};$

г) $\frac{\left(1\frac{1}{2}\right)^4}{\left(1\frac{1}{2}\right)^2};$

д) $\frac{\left(-2\frac{1}{3}\right)^6}{\left(-2\frac{1}{3}\right)^3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения значения дроби воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

В данном случае основание $a=8$, показатель степени числителя $m=6$, а показатель степени знаменателя $n=4$.

$\frac{8^6}{8^4} = 8^{6-4} = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$.

б) Применим то же свойство степени для основания $a=0,8$, где $m=7$ и $n=4$.

$\frac{0,8^7}{0,8^4} = 0,8^{7-4} = 0,8^3$.

Вычислим значение: $0,8^3 = 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \cdot 0,8 = 0,512$.

Ответ: $0,512$.

в) Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a=-0,3$, где $m=5$ и $n=3$.

$\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3} = (-0,3)^{5-3} = (-0,3)^2$.

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $(-0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.

Ответ: $0,09$.

г) В данном случае основание степени — смешанное число, но правило деления степеней остается тем же. Основание $a=1\frac{1}{2}$, $m=4$ и $n=2$.

$\frac{(1\frac{1}{2})^4}{(1\frac{1}{2})^2} = (1\frac{1}{2})^{4-2} = (1\frac{1}{2})^2$.

Для вычисления представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

д) Аналогично предыдущим пунктам, применим свойство деления степеней. Основание $a=-2\frac{1}{3}$, $m=6$ и $n=3$.

$\frac{(-2\frac{1}{3})^6}{(-2\frac{1}{3})^3} = (-2\frac{1}{3})^{6-3} = (-2\frac{1}{3})^3$.

Представим основание в виде неправильной дроби: $-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$.

Возведем в куб (нечетная степень), поэтому знак минус сохранится: $(-\frac{7}{3})^3 = -(\frac{7^3}{3^3}) = -\frac{343}{27}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $343 \div 27 = 12$ с остатком $19$. Таким образом, $-\frac{343}{27} = -12\frac{19}{27}$.

Ответ: $-12\frac{19}{27}$.