Номер 410, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 410, страница 102.

Условие.

410. Представьте в виде степени:

а) $5^8 \cdot 25$;

б) $3^{12} \cdot 27$;

в) $6^{15} \cdot 36$;

г) $2^9 \cdot 32$;

д) $0,4^5 \cdot 0,16$;

е) $0,001 \cdot 0,1^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить произведение $5^8 \cdot 25$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Заметим, что число 25 является второй степенью числа 5, то есть $25 = 5^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать следующим образом: $5^8 \cdot 5^2$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.

Ответ: $5^{10}$.

б) Рассмотрим выражение $3^{12} \cdot 27$. Чтобы представить его в виде степени, приведем множители к общему основанию 3. Число 27 можно представить как $3^3$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Выражение принимает вид: $3^{12} \cdot 3^3$.

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$3^{12} \cdot 3^3 = 3^{12+3} = 3^{15}$.

Ответ: $3^{15}$.

в) Преобразуем выражение $6^{15} \cdot 36$. Общим основанием для обоих множителей является число 6. Представим число 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$.

Исходное выражение можно записать так: $6^{15} \cdot 6^2$.

По правилу умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), имеем:

$6^{15} \cdot 6^2 = 6^{15+2} = 6^{17}$.

Ответ: $6^{17}$.

г) Рассмотрим выражение $2^9 \cdot 32$. Общее основание здесь 2. Представим число 32 как степень с основанием 2. Поскольку $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, то $32 = 2^5$.

Тогда выражение будет выглядеть так: $2^9 \cdot 2^5$.

Сложим показатели степеней по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^5 = 2^{9+5} = 2^{14}$.

Ответ: $2^{14}$.

д) Представим в виде степени выражение $0,4^5 \cdot 0,16$. Общим основанием является десятичная дробь 0,4. Заметим, что $0,16 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,4^2$.

Тогда выражение можно переписать в виде: $0,4^5 \cdot 0,4^2$.

Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, получим:

$0,4^5 \cdot 0,4^2 = 0,4^{5+2} = 0,4^7$.

Ответ: $0,4^7$.

е) Рассмотрим выражение $0,001 \cdot 0,1^4$. Приведем множители к общему основанию 0,1. Число 0,001 можно представить как степень числа 0,1: $0,001 = 0,1^3$.

Тогда исходное выражение примет вид: $0,1^3 \cdot 0,1^4$.

Складывая показатели степеней с одинаковым основанием, имеем:

$0,1^3 \cdot 0,1^4 = 0,1^{3+4} = 0,1^7$.

Ответ: $0,1^7$.