Номер 407, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 407, страница 101.

Условие.

407. Представьте выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с основанием $x$ всеми возможными способами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием $x$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней. Это свойство гласит, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

Следовательно, наша задача сводится к поиску пар чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 6. То есть, должно выполняться равенство $a + b = 6$.

В условии не указано, какими должны быть показатели степеней (натуральными, целыми, рациональными). Если не наложено ограничений, то таких пар бесконечно много (например, $x^7 \cdot x^{-1}$ или $x^{2.5} \cdot x^{3.5}$). Однако, как правило, в таких задачах подразумеваются целые неотрицательные показатели (натуральные числа и 0). Рассмотрим все такие возможные комбинации:

• $0 + 6 = 6$, что соответствует произведению $x^0 \cdot x^6$.
• $1 + 5 = 6$, что соответствует произведению $x^1 \cdot x^5$ (или просто $x \cdot x^5$).
• $2 + 4 = 6$, что соответствует произведению $x^2 \cdot x^4$.
• $3 + 3 = 6$, что соответствует произведению $x^3 \cdot x^3$.

Поскольку умножение коммутативно (от перемены мест сомножителей произведение не меняется, т.е. $x^a \cdot x^b = x^b \cdot x^a$), то пары показателей $(1, 5)$ и $(5, 1)$ дают по сути одинаковые произведения. Однако, если считать различными способами представления с разным порядком множителей, то следует также перечислить и обратные пары:

• $4 + 2 = 6$, что соответствует произведению $x^4 \cdot x^2$.
• $5 + 1 = 6$, что соответствует произведению $x^5 \cdot x^1$.
• $6 + 0 = 6$, что соответствует произведению $x^6 \cdot x^0$.

Таким образом, перечислив все упорядоченные пары целых неотрицательных чисел, мы получаем 7 различных способов.

Ответ: $x^1 \cdot x^5$; $x^2 \cdot x^4$; $x^3 \cdot x^3$; $x^4 \cdot x^2$; $x^5 \cdot x^1$; $x^0 \cdot x^6$; $x^6 \cdot x^0$.