Страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

405. Представьте выражение $a^{15}$ в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:

а) $a^6$;

б) $a^9$;

в) $a^2$;

г) $a^{14}$.

Для того чтобы представить выражение $a^{15}$ в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием $a$, мы будем использовать свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, сумма показателей степеней $m$ и $n$ должна быть равна 15. Если нам дана одна степень, например $a^m$, то показатель второй степени $n$ мы можем найти из уравнения $m + n = 15$, откуда $n = 15 - m$.

а)

Дан один из множителей $a^6$. Чтобы найти второй множитель, вычтем его показатель из 15: $15 - 6 = 9$.
Таким образом, второй множитель равен $a^9$.
Проверяем: $a^6 \cdot a^9 = a^{6+9} = a^{15}$.
Ответ: $a^6 \cdot a^9$.

б)

Дан один из множителей $a^9$. Находим показатель второго множителя: $15 - 9 = 6$.
Таким образом, второй множитель равен $a^6$.
Проверяем: $a^9 \cdot a^6 = a^{9+6} = a^{15}$.
Ответ: $a^9 \cdot a^6$.

в)

Дан один из множителей $a^2$. Находим показатель второго множителя: $15 - 2 = 13$.
Таким образом, второй множитель равен $a^{13}$.
Проверяем: $a^2 \cdot a^{13} = a^{2+13} = a^{15}$.
Ответ: $a^2 \cdot a^{13}$.

г)

Дан один из множителей $a^{14}$. Находим показатель второго множителя: $15 - 14 = 1$.
Таким образом, второй множитель равен $a^1$ или просто $a$.
Проверяем: $a^{14} \cdot a^1 = a^{14+1} = a^{15}$.
Ответ: $a^{14} \cdot a$.

408. Представьте в виде степени произведение:

а) $x^2x^5x^4$;

б) $y^3y^2y$;

в) $mm^3m^2m^5$;

г) $p^4p^3pp$;

д) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$;

е) $3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3$.

а) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном примере основание у всех множителей одинаковое и равно $x$. Складываем показатели степеней 2, 5 и 4:
$x^2x^5x^4 = x^{2+5+4} = x^{11}$.
Ответ: $x^{11}$.

б) В выражении $y^3y^2y$ все множители имеют одинаковое основание $y$. Следует помнить, что переменная без явно указанного показателя степени (в данном случае $y$) имеет показатель, равный 1. То есть, $y = y^1$.
Складываем показатели степеней 3, 2 и 1:
$y^3y^2y = y^3 \cdot y^2 \cdot y^1 = y^{3+2+1} = y^6$.
Ответ: $y^6$.

в) В произведении $mm^3m^2m^5$ основание у всех множителей равно $m$. Первый множитель $m$ и последний $m^5$ являются степенями с основанием $m$. (Кажется, в условии опечатка, и должно быть $mm^3m^2m^5$. Если же последний множитель $m^5$, то решение следующее). Предположим, что выражение имеет вид $mm^3m^2m^5$. Множитель $m$ без показателя степени равен $m^1$.
Складываем все показатели степеней при основании $m$:
$mm^3m^2m^5 = m^1 \cdot m^3 \cdot m^2 \cdot m^5 = m^{1+3+2+5} = m^{11}$.
(Если в условии было $mm^3m^2m$, то $m^{1+3+2+1} = m^7$).
Ответ: $m^{11}$.

г) В выражении $p^4p^3pp$ основание у всех множителей одинаковое и равно $p$. Множители $p$ без показателя степени равны $p^1$.
Складываем показатели степеней 4, 3, 1 и 1:
$p^4p^3pp = p^4 \cdot p^3 \cdot p^1 \cdot p^1 = p^{4+3+1+1} = p^9$.
Ответ: $p^9$.

д) В произведении $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$ все множители имеют одинаковое основание 10.
Применяем правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием:
$10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 10^{2+3+5} = 10^{10}$.
Ответ: $10^{10}$.

е) В выражении $3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3$ основание у всех множителей одинаковое и равно 3. Последний множитель 3 равен $3^1$.
Складываем показатели степеней 4, 2, 3 и 1:
$3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^1 = 3^{4+2+3+1} = 3^{10}$.
Ответ: $3^{10}$.

403. Представьте произведение в виде степени:

а) $x^5 x^8$;

б) $a^6 a^3$;

в) $y^4 y^9$;

г) $b^8 b^{15}$;

д) $x^9 x$;

е) $y y^{12}$;

ж) $2^6 \cdot 2^4$;

з) $7^5 \cdot 7$.

Для решения всех пунктов этого задания используется основное свойство степени: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула этого свойства выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Также следует помнить, что любое число или переменная без показателя степени по умолчанию имеет показатель 1 (например, $x = x^1$).

а) В выражении $x^5x^8$ основание степени одинаковое и равно $x$. Чтобы представить это произведение в виде степени, нужно сложить показатели $5$ и $8$.
$x^5x^8 = x^{5+8} = x^{13}$.
Ответ: $x^{13}$.

б) В выражении $a^6a^3$ основание степени — $a$. Складываем показатели степеней $6$ и $3$.
$a^6a^3 = a^{6+3} = a^9$.
Ответ: $a^9$.

в) В выражении $y^4y^9$ основание степени — $y$. Складываем показатели $4$ и $9$.
$y^4y^9 = y^{4+9} = y^{13}$.
Ответ: $y^{13}$.

г) В выражении $b^8b^{15}$ основание степени — $b$. Сумма показателей равна $8 + 15 = 23$.
$b^8b^{15} = b^{8+15} = b^{23}$.
Ответ: $b^{23}$.

д) В выражении $x^9x$ второй множитель $x$ можно представить как $x^1$. Основание степени — $x$. Складываем показатели $9$ и $1$.
$x^9x = x^9x^1 = x^{9+1} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

е) В выражении $yy^{12}$ первый множитель $y$ можно представить как $y^1$. Основание степени — $y$. Складываем показатели $1$ и $12$.
$yy^{12} = y^1y^{12} = y^{1+12} = y^{13}$.
Ответ: $y^{13}$.

ж) В выражении $2^6 \cdot 2^4$ основание степени — число $2$. Складываем показатели $6$ и $4$.
$2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$.
Ответ: $2^{10}$.

з) В выражении $7^5 \cdot 7$ второй множитель $7$ можно представить как $7^1$. Основание степени — число $7$. Складываем показатели $5$ и $1$.
$7^5 \cdot 7 = 7^5 \cdot 7^1 = 7^{5+1} = 7^6$.
Ответ: $7^6$.

406. Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием каким-нибудь способом:

а) $x^{10}$;

б) $y^{15}$;

в) $2^{12}$;

г) $5^{17}$.

а) Для того чтобы представить степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием, мы используем свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Наша задача — найти два числа, $m$ и $n$, сумма которых равна показателю исходной степени.
Для степени $x^{10}$ нам нужно найти два числа, сумма которых равна 10. Выберем, например, числа 4 и 6, так как $4 + 6 = 10$.
Тогда мы можем записать:
$x^{10} = x^{4+6} = x^4 \cdot x^6$.
Существуют и другие способы, например: $x^{10} = x^1 \cdot x^9$ или $x^{10} = x^5 \cdot x^5$. Мы приводим один из возможных вариантов.
Ответ: $x^{10} = x^4 \cdot x^6$.

б) Для степени $y^{15}$ нам нужно найти два числа, сумма которых равна 15. Возьмем, к примеру, числа 5 и 10, так как $5 + 10 = 15$.
Применяя свойство умножения степеней, получаем:
$y^{15} = y^{5+10} = y^5 \cdot y^{10}$.
Другим примером может быть $y^{15} = y^7 \cdot y^8$.
Ответ: $y^{15} = y^5 \cdot y^{10}$.

в) Для степени $2^{12}$ нам необходимо найти два числа, которые в сумме дают 12. Например, это могут быть числа 2 и 10, так как $2 + 10 = 12$.
Следовательно, представление степени в виде произведения будет выглядеть так:
$2^{12} = 2^{2+10} = 2^2 \cdot 2^{10}$.
Также можно было выбрать пару 6 и 6: $2^{12} = 2^6 \cdot 2^6$.
Ответ: $2^{12} = 2^2 \cdot 2^{10}$.

г) Для степени $5^{17}$ ищем два числа, сумма которых равна 17. Пусть это будут числа 8 и 9, так как $8 + 9 = 17$.
На основе этого мы можем представить степень как произведение:
$5^{17} = 5^{8+9} = 5^8 \cdot 5^9$.
Еще один возможный вариант: $5^{17} = 5^7 \cdot 5^{10}$.
Ответ: $5^{17} = 5^8 \cdot 5^9$.

404. Запишите в виде степени произведение:

а) $m^3m^8;$

б) $x^4x^4;$

в) $c^7c^{12};$

г) $p^3p^{11};$

д) $aa^3;$

е) $b^2b;$

ж) $5^9 \cdot 5^8;$

з) $3^3 \cdot 3^3.$

а) Для того чтобы записать произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это правило к выражению $m^3m^8$ (здесь знак умножения между степенями опущен, что является стандартной записью для буквенных выражений). Складываем показатели: $3 + 8 = 11$.
$m^3m^8 = m^{3+8} = m^{11}$.
Ответ: $m^{11}$.

б) Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В выражении $x^4x^4$ основанием является $x$, а показатели степеней равны 4. Складываем показатели: $4 + 4 = 8$.
$x^4x^4 = x^{4+4} = x^8$.
Ответ: $x^8$.

в) Аналогично предыдущим примерам, для произведения $c^7c^{12}$ основание $c$ остается без изменений, а показатели степеней $7$ и $12$ складываются: $7 + 12 = 19$.
$c^7c^{12} = c^{7+12} = c^{19}$.
Ответ: $c^{19}$.

г) Для произведения $p^3p^{11}$ основание степени равно $p$. Складываем показатели $3$ и $11$: $3 + 11 = 14$.
$p^3p^{11} = p^{3+11} = p^{14}$.
Ответ: $p^{14}$.

д) В выражении $aa^3$ первый множитель $a$ является степенью с показателем 1, то есть $a = a^1$. Теперь мы можем применить правило умножения степеней с одинаковым основанием.
$aa^3 = a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4$.
Ответ: $a^4$.

е) По аналогии с предыдущим заданием, в выражении $b^2b$ множитель $b$ можно представить как $b^1$. Выполним умножение, сложив показатели степеней.
$b^2b = b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$.
Ответ: $b^3$.

ж) Правило умножения степеней справедливо и для числовых оснований. В выражении $5^9 \cdot 5^8$ основание равно 5. Складываем показатели степеней: $9 + 8 = 17$.
$5^9 \cdot 5^8 = 5^{9+8} = 5^{17}$.
Ответ: $5^{17}$.

з) В выражении $3^3 \cdot 3^3$ основанием степени является число 3. Складываем показатели степеней: $3 + 3 = 6$.
$3^3 \cdot 3^3 = 3^{3+3} = 3^6$.
Ответ: $3^6$.

407. Представьте выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с основанием $x$ всеми возможными способами.

Для того чтобы представить выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием $x$, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней. Это свойство гласит, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.

Следовательно, наша задача сводится к поиску пар чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 6. То есть, должно выполняться равенство $a + b = 6$.

В условии не указано, какими должны быть показатели степеней (натуральными, целыми, рациональными). Если не наложено ограничений, то таких пар бесконечно много (например, $x^7 \cdot x^{-1}$ или $x^{2.5} \cdot x^{3.5}$). Однако, как правило, в таких задачах подразумеваются целые неотрицательные показатели (натуральные числа и 0). Рассмотрим все такие возможные комбинации:

• $0 + 6 = 6$, что соответствует произведению $x^0 \cdot x^6$.
• $1 + 5 = 6$, что соответствует произведению $x^1 \cdot x^5$ (или просто $x \cdot x^5$).
• $2 + 4 = 6$, что соответствует произведению $x^2 \cdot x^4$.
• $3 + 3 = 6$, что соответствует произведению $x^3 \cdot x^3$.

Поскольку умножение коммутативно (от перемены мест сомножителей произведение не меняется, т.е. $x^a \cdot x^b = x^b \cdot x^a$), то пары показателей $(1, 5)$ и $(5, 1)$ дают по сути одинаковые произведения. Однако, если считать различными способами представления с разным порядком множителей, то следует также перечислить и обратные пары:

• $4 + 2 = 6$, что соответствует произведению $x^4 \cdot x^2$.
• $5 + 1 = 6$, что соответствует произведению $x^5 \cdot x^1$.
• $6 + 0 = 6$, что соответствует произведению $x^6 \cdot x^0$.

Таким образом, перечислив все упорядоченные пары целых неотрицательных чисел, мы получаем 7 различных способов.

Ответ: $x^1 \cdot x^5$; $x^2 \cdot x^4$; $x^3 \cdot x^3$; $x^4 \cdot x^2$; $x^5 \cdot x^1$; $x^0 \cdot x^6$; $x^6 \cdot x^0$.