Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

447. Упростите выражение:

а) $x^3 \cdot (x^2)^5;$

б) $(a^3)^2 \cdot a^5;$

в) $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2;$

г) $(x^2)^5 \cdot (x^5)^2;$

д) $(m^2m^3)^4;$

е) $(x^4x)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $x^3 \cdot (x^2)^5$, мы применим два свойства степеней. Сначала возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

Теперь исходное выражение принимает вид $x^3 \cdot x^{10}$. Далее, чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, мы сложим их показатели, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^3 \cdot x^{10} = x^{3+10} = x^{13}$

Ответ: $x^{13}$

б) Упростим выражение $(a^3)^2 \cdot a^5$. Сначала выполним операцию возведения степени в степень для первого множителя по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$

Теперь выражение выглядит как $a^6 \cdot a^5$. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$

Ответ: $a^{11}$

в) В выражении $(a^2)^3 \cdot (a^4)^2$ мы имеем произведение двух степеней, каждая из которых возводится в еще одну степень. Применим правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю.

$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$

$(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^6 \cdot a^8 = a^{6+8} = a^{14}$

Ответ: $a^{14}$

г) Упростим выражение $(x^2)^5 \cdot (x^5)^2$. Аналогично предыдущему пункту, сначала возведем каждую степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Далее перемножим полученные степени с одинаковым основанием по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^{10} \cdot x^{10} = x^{10+10} = x^{20}$

Ответ: $x^{20}$

д) Для упрощения выражения $(m^2m^3)^4$ сначала выполним действие в скобках. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$m^2m^3 = m^{2+3} = m^5$

Теперь выражение имеет вид $(m^5)^4$. Возведем полученную степень в степень по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(m^5)^4 = m^{5 \cdot 4} = m^{20}$

Ответ: $m^{20}$

е) Упростим выражение $(x^4x)^2$. Сначала упростим то, что находится в скобках. Запомним, что $x$ — это то же самое, что и $x^1$. Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^4x = x^4 \cdot x^1 = x^{4+1} = x^5$

Теперь возведем результат в квадрат, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

450. Найдите значение выражения:

а) $\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$

б) $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$

в) $\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$

г) $\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$

д) $\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$

е) $\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$

ж) $\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$

з) $\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$, воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала упростим числитель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.

2. Теперь числитель выглядит так: $2^5 \cdot 2^{12}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}$.

3. Получаем дробь $\frac{2^{17}}{2^{13}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

б) Упростим выражение $\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$.

1. Упростим числитель. Сначала возводим степень в степень: $(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$.

2. Затем перемножаем степени с одинаковым основанием: $5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$.

3. Теперь делим степени: $\frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

в) Упростим выражение $\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$.

1. Упростим числитель: $(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.

2. Упростим знаменатель. Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

$2^6 \cdot 4 = 2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2 = 4$.

Ответ: 4

г) Упростим выражение $\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$.

1. Упростим числитель. Представим 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.

$3^7 \cdot 27 = 3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10}$.

2. Упростим знаменатель: $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2}$.

4. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

д) Упростим выражение $\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$.

1. Упростим числитель. Возводим степень в степень: $(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$. Представляем 25 как степень пятерки: $25 = 5^2$.

Числитель становится: $5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$.

2. Делим полученные выражения: $\frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

е) Упростим выражение $\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$.

1. Упростим числитель: $(7^3)^3 \cdot 7^2 = 7^{3 \cdot 3} \cdot 7^2 = 7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11}$.

2. Упростим знаменатель: $(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^{11-10} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

ж) Упростим выражение $\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$.

1. Упростим числитель. Представим 27 как $3^3$: $3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$.

2. Упростим знаменатель. Упростим $(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$. Представим 9 как $3^2$.

Знаменатель становится: $3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14}$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{3^{14}}{3^{14}} = 3^{14-14} = 3^0 = 1$.

Ответ: 1

з) Упростим выражение $\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$.

1. Упростим числитель: $(11^2)^3 = 11^{2 \cdot 3} = 11^6$.

2. Упростим знаменатель: $11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5$.

3. Делим полученные выражения: $\frac{11^6}{11^5} = 11^{6-5} = 11^1 = 11$.

Ответ: 11

453. Известно, что график функции $y = kx + 5,4$ проходит через точку $A (3,7; -2)$. Найдите значение коэффициента $k$.

По условию задачи, нам дана линейная функция $y = kx + 5,4$.

Известно, что график этой функции проходит через точку $A(3,7; -2)$. Это означает, что если подставить координаты этой точки в уравнение функции, то получится верное равенство. В данном случае, координата $x$ равна $3,7$, а координата $y$ равна $-2$.

Подставим эти значения в уравнение функции:

$-2 = k \cdot 3,7 + 5,4$

Теперь у нас есть линейное уравнение с одной неизвестной $k$. Решим его. Для начала, перенесем слагаемое $5,4$ из правой части в левую, изменив его знак:

$-2 - 5,4 = 3,7k$

$-7,4 = 3,7k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $k$, то есть на $3,7$:

$k = \frac{-7,4}{3,7}$

$k = -2$

Таким образом, мы нашли искомое значение коэффициента $k$.

Ответ: -2

445. Выражение $a^{12}$ представьте в виде степени несколькими способами.

Для того чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде степени несколькими способами, мы воспользуемся свойством возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются. Математически это записывается так:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Следовательно, нам нужно найти различные пары целых чисел $m$ и $n$, произведение которых равно 12. Число 12 можно представить в виде произведения несколькими способами, например: $12 = 2 \cdot 6$, $12 = 3 \cdot 4$, $12 = 4 \cdot 3$, $12 = 6 \cdot 2$.

Рассмотрим эти случаи по отдельности.

Способ 1

Представим показатель степени 12 как произведение чисел 2 и 6. То есть, $m=2$ и $n=6$.

Используя свойство степени, получаем:

$a^{12} = a^{2 \cdot 6} = (a^2)^6$

В этом случае основание новой степени равно $a^2$, а показатель равен 6.

Способ 2

Представим показатель 12 как произведение чисел 3 и 4. То есть, $m=3$ и $n=4$.

Тогда выражение можно записать в следующем виде:

$a^{12} = a^{3 \cdot 4} = (a^3)^4$

Здесь основание степени равно $a^3$, а показатель равен 4.

Способ 3

Представим 12 как произведение чисел 6 и 2. То есть, $m=6$ и $n=2$.

В этом случае получаем:

$a^{12} = a^{6 \cdot 2} = (a^6)^2$

Основание степени равно $a^6$, а показатель равен 2.

Способ 4

Также можно представить 12 как произведение 4 и 3. То есть, $m=4$ и $n=3$.

Тогда:

$a^{12} = a^{4 \cdot 3} = (a^4)^3$

Основание степени в данном случае равно $a^4$, а показатель равен 3.

Таким образом, мы представили выражение $a^{12}$ в виде степени несколькими различными способами, меняя основание и показатель степени.

Ответ: Выражение $a^{12}$ можно представить в виде степени, например, следующими способами: $(a^2)^6$, $(a^3)^4$, $(a^6)^2$ или $(a^4)^3$.

448. Запишите в виде степени с основанием a выражение:

а) $(a^2)^4;$

б) $a^3 \cdot (a^3)^2;$

в) $(a^5)^2 \cdot (a^2)^2;$

г) $(a^3)^3 \cdot (a^3)^3;$

д) $(a^3a^3)^2;$

е) $(aa^6)^3.$

Для решения данной задачи мы будем использовать следующие свойства степеней:

• При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Любое число (или переменная) без показателя степени считается в первой степени: $a = a^1$.

а) Применим правило возведения степени в степень. Показатели степеней $2$ и $4$ перемножаются.

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

б) Сначала упростим второй множитель $(a^3)^2$, возведя степень в степень.

$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$.

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $a$, сложив их показатели.

$a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$.

Ответ: $a^9$.

в) Упростим каждый множитель в выражении $(a^5)^2 \cdot (a^2)^2$ по отдельности, используя правило возведения степени в степень.

$(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.

$(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.

Теперь перемножим полученные результаты, сложив их показатели.

$a^{10} \cdot a^4 = a^{10+4} = a^{14}$.

Ответ: $a^{14}$.

г) Упростим каждый из множителей $(a^3)^3$.

$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.

Теперь перемножим одинаковые результаты.

$a^9 \cdot a^9 = a^{9+9} = a^{18}$.

Ответ: $a^{18}$.

д) Сначала выполним умножение внутри скобок $(a^3a^3)^2$.

$a^3a^3 = a^{3+3} = a^6$.

Теперь возведем полученный результат в степень.

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.

е) Упростим выражение внутри скобок $(aa^6)^3$, помня, что $a = a^1$.

$aa^6 = a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.

Теперь возведем результат в степень.

$(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$.

Ответ: $a^{21}$.

451. Известно, что $a < 0$ и $b > 0$. Сравните с нулём значение выражения:

а) $ab^2$;

б) $a^3b$;

в) $a^2b$;

г) $ab^3$;

д) $-ab^3$;

е) $a^2 + b^2$;

ж) $(a + b)^2$;

з) $(a - b)^2$.

По условию задачи даны два числа: $a$ и $b$, где $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $b$ — положительное число ($b > 0$). Необходимо сравнить с нулём значения предложенных выражений.

Для этого воспользуемся следующими правилами:

• Четная степень любого ненулевого числа всегда положительна.
• Нечетная степень отрицательного числа отрицательна.
• Любая степень положительного числа положительна.
• Произведение чисел с разными знаками отрицательно.
• Произведение чисел с одинаковыми знаками положительно.
• Сумма двух положительных чисел положительна.
• Сумма двух отрицательных чисел отрицательна.

а) $ab^2$

Рассмотрим множители: $a$ и $b^2$.

По условию $a < 0$.

Так как $b > 0$, то $b^2$ (квадрат положительного числа) также будет положительным: $b^2 > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^2$) является отрицательным.

Следовательно, $ab^2 < 0$.

Ответ: $ab^2 < 0$ (значение выражения меньше нуля).

б) $a^3b$

Рассмотрим множители: $a^3$ и $b$.

Поскольку $a < 0$, то его нечетная степень $a^3$ также будет отрицательной: $a^3 < 0$.

По условию $b > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a^3$) и положительного числа ($b$) является отрицательным.

Следовательно, $a^3b < 0$.

Ответ: $a^3b < 0$ (значение выражения меньше нуля).

в) $a^2b$

Рассмотрим множители: $a^2$ и $b$.

Поскольку $a < 0$, то его четная степень $a^2$ будет положительной: $a^2 > 0$.

По условию $b > 0$.

Произведение двух положительных чисел ($a^2$ и $b$) является положительным.

Следовательно, $a^2b > 0$.

Ответ: $a^2b > 0$ (значение выражения больше нуля).

г) $ab^3$

Рассмотрим множители: $a$ и $b^3$.

По условию $a < 0$.

Поскольку $b > 0$, то любая его степень, включая $b^3$, будет положительной: $b^3 > 0$.

Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного числа ($b^3$) является отрицательным.

Следовательно, $ab^3 < 0$.

Ответ: $ab^3 < 0$ (значение выражения меньше нуля).

д) $-ab^3$

Как мы установили в пункте г), произведение $ab^3$ является отрицательным числом ($ab^3 < 0$).

Выражение $-ab^3$ — это число, противоположное $ab^3$.

Число, противоположное отрицательному, является положительным.

Следовательно, $-ab^3 > 0$.

Ответ: $-ab^3 > 0$ (значение выражения больше нуля).

е) $a^2 + b^2$

Рассмотрим слагаемые: $a^2$ и $b^2$.

Так как $a < 0$ и $a \ne 0$, его квадрат $a^2$ строго положителен: $a^2 > 0$.

Так как $b > 0$ и $b \ne 0$, его квадрат $b^2$ строго положителен: $b^2 > 0$.

Сумма двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) всегда является положительным числом.

Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

Ответ: $a^2 + b^2 > 0$ (значение выражения больше нуля).

ж) $(a + b)^2$

Рассмотрим выражение $a+b$. Поскольку $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное, их сумма может быть положительной, отрицательной или равной нулю (если $|a| = |b|$).

Однако все выражение $(a + b)^2$ представляет собой квадрат действительного числа.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Если $a+b \ne 0$, то $(a+b)^2 > 0$.

Если $a+b = 0$ (например, $a=-5, b=5$), то $(a+b)^2 = 0$.

Таким образом, значение выражения всегда больше или равно нулю.

Следовательно, $(a + b)^2 \ge 0$.

Ответ: $(a + b)^2 \ge 0$ (значение выражения больше или равно нулю).

з) $(a - b)^2$

Рассмотрим выражение в скобках: $a - b$.

По условию $a < 0$ и $b > 0$. Вычитание положительного числа $b$ равносильно прибавлению отрицательного числа $-b$.

Таким образом, мы складываем два отрицательных числа: $a$ и $(-b)$.

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Значит, $a - b < 0$.

Поскольку $a$ и $b$ имеют разные знаки, их разность не может быть равна нулю.

Выражение $(a - b)^2$ является квадратом ненулевого отрицательного числа. Квадрат любого ненулевого числа всегда строго положителен.

Следовательно, $(a - b)^2 > 0$.

Ответ: $(a - b)^2 > 0$ (значение выражения больше нуля).

454. На рисунке 59 построен график некоторой функции. Используя график, найдите:

а) значение $y$ при $x$, равном $-2$; $-1$; $2$;

б) значения $x$, при которых $y$ равно $-0,5$; $2$.

Рис. 59

а) Чтобы найти значение $y$ по известному значению $x$ с помощью графика, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной оси $Ox$) заданное значение $x$, затем провести вертикальную линию до пересечения с графиком функции. От точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (вертикальной оси $Oy$). Значение на оси $Oy$, в которое пришла линия, и будет искомым значением $y$.

Выполним это для заданных значений $x$:

- При $x = -2$: находим на оси $x$ значение $-2$, поднимаемся до графика. Точка на графике имеет координату $y$, равную $1$.

- При $x = -1$: находим на оси $x$ значение $-1$, поднимаемся до графика. Точка на графике соответствует значению $y = 2.5$.

- При $x = 2$: находим на оси $x$ значение $2$, поднимаемся до графика. Точка на графике соответствует значению $y = 2$.

Ответ: при $x = -2$ значение $y = 1$; при $x = -1$ значение $y = 2.5$; при $x = 2$ значение $y = 2$.

б) Чтобы найти значения $x$, которым соответствует заданное значение $y$, нужно найти на оси ординат (вертикальной оси $Oy$) заданное значение $y$, затем провести горизонтальную линию через эту точку. Абсциссы (координаты $x$) всех точек пересечения этой линии с графиком и будут искомыми значениями $x$.

Выполним это для заданных значений $y$:

- При $y = -0.5$: проводим горизонтальную линию на уровне $y = -0.5$. Эта линия пересекает график функции в двух точках. Опуская из этих точек перпендикуляры на ось $x$, находим соответствующие значения: $x = 0.5$ и $x = 1.5$.

- При $y = 2$: проводим горизонтальную линию на уровне $y = 2$. Эта линия пересекает график в трех точках. Абсциссы этих точек равны: $x = -1.5$, $x = -0.5$ и $x = 2$.

Ответ: $y = -0.5$ при $x = 0.5$ и $x = 1.5$; $y = 2$ при $x = -1.5$, $x = -0.5$ и $x = 2$.

446. Известно, что $a^2 = m$. Найдите $a^6$.

По условию задачи нам дано равенство $a^2 = m$. Требуется найти значение выражения $a^6$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством степени, которое гласит, что при возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(x^n)^k = x^{nk}$.

Мы можем представить степень $a^6$ через $a^2$, так как показатель степени $6$ можно представить как произведение $2 \cdot 3$.

Запишем это в виде формулы:
$a^6 = a^{2 \cdot 3} = (a^2)^3$

Теперь, зная, что $a^2 = m$, мы можем подставить $m$ вместо $a^2$ в полученное выражение:

$a^6 = (a^2)^3 = m^3$

Таким образом, мы выразили $a^6$ через $m$.

Ответ: $m^3$.

449. Упростите выражение:

а) $x^5 \cdot (x^2)^3;$

б) $(x^3)^4 \cdot x^8;$

в) $(x^4)^2 \cdot (x^5)^3;$

г) $(x^2)^3 \cdot (x^3)^5;$

д) $(x^3)^2 \cdot (x^4)^5;$

е) $(x^7)^3 \cdot (x^3)^4.$

а) Чтобы упростить выражение $x^5 \cdot (x^2)^3$, мы используем два основных свойства степеней:

1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим это свойство к множителю $(x^2)^3$:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Теперь исходное выражение принимает вид $x^5 \cdot x^6$. Применим это свойство:

$x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11}$.

Ответ: $x^{11}$

б) Упростим выражение $(x^3)^4 \cdot x^8$.

Сначала раскроем скобки в первом множителе по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Теперь умножим полученный результат на $x^8$ по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{12} \cdot x^8 = x^{12+8} = x^{20}$.

Ответ: $x^{20}$

в) Упростим выражение $(x^4)^2 \cdot (x^5)^3$.

Сначала упростим каждый множитель в скобках, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.

$(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.

Затем перемножим полученные степени, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^8 \cdot x^{15} = x^{8+15} = x^{23}$.

Ответ: $x^{23}$

г) Упростим выражение $(x^2)^3 \cdot (x^3)^5$.

Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$.

Теперь перемножим результаты, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^6 \cdot x^{15} = x^{6+15} = x^{21}$.

Ответ: $x^{21}$

д) Упростим выражение $(x^8)^2 \cdot (x^4)^5$.

Упростим каждый множитель по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^8)^2 = x^{8 \cdot 2} = x^{16}$.

$(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$.

Перемножим полученные степени по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{16} \cdot x^{20} = x^{16+20} = x^{36}$.

Ответ: $x^{36}$

е) Упростим выражение $(x^7)^3 \cdot (x^3)^4$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

$(x^7)^3 = x^{7 \cdot 3} = x^{21}$.

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Теперь используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{21} \cdot x^{12} = x^{21+12} = x^{33}$.

Ответ: $x^{33}$

452. Какой цифрой может оканчиваться:

a) квадрат натурального числа;

б) четвёртая степень натурального числа?

а) квадрат натурального числа

Последняя цифра квадрата натурального числа $n^2$ зависит только от последней цифры самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры, достаточно возвести в квадрат все цифры от 0 до 9 и посмотреть на последнюю цифру результата:
$0^2 = 0$, последняя цифра 0.
$1^2 = 1$, последняя цифра 1.
$2^2 = 4$, последняя цифра 4.
$3^2 = 9$, последняя цифра 9.
$4^2 = 16$, последняя цифра 6.
$5^2 = 25$, последняя цифра 5.
$6^2 = 36$, последняя цифра 6.
$7^2 = 49$, последняя цифра 9.
$8^2 = 64$, последняя цифра 4.
$9^2 = 81$, последняя цифра 1.

Таким образом, собрав все уникальные последние цифры, мы видим, что квадрат натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Ответ: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

б) четвёртая степень натурального числа

Последняя цифра четвертой степени натурального числа $n^4$ также зависит только от последней цифры числа $n$. Четвертую степень можно представить как квадрат квадрата: $n^4 = (n^2)^2$.

Из пункта а) мы знаем, что квадрат числа ($n^2$) может оканчиваться только на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9. Теперь найдем, на какую цифру будет оканчиваться квадрат числа, последняя цифра которого принадлежит этому набору:
Если последняя цифра $n^2$ равна 0, то последняя цифра $n^4$ равна $0^2=0$.
Если последняя цифра $n^2$ равна 1, то последняя цифра $n^4$ равна $1^2=1$.
Если последняя цифра $n^2$ равна 4, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $4^2=16$, то есть 6.
Если последняя цифра $n^2$ равна 5, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $5^2=25$, то есть 5.
Если последняя цифра $n^2$ равна 6, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $6^2=36$, то есть 6.
Если последняя цифра $n^2$ равна 9, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $9^2=81$, то есть 1.

Таким образом, собрав все уникальные последние цифры, мы видим, что четвертая степень натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 5, 6.

Ответ: 0, 1, 5, 6.