Номер 449, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 449, страница 107.

Условие.

449. Упростите выражение:

а) $x^5 \cdot (x^2)^3;$

б) $(x^3)^4 \cdot x^8;$

в) $(x^4)^2 \cdot (x^5)^3;$

г) $(x^2)^3 \cdot (x^3)^5;$

д) $(x^3)^2 \cdot (x^4)^5;$

е) $(x^7)^3 \cdot (x^3)^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение $x^5 \cdot (x^2)^3$, мы используем два основных свойства степеней:

1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Применим это свойство к множителю $(x^2)^3$:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Теперь исходное выражение принимает вид $x^5 \cdot x^6$. Применим это свойство:

$x^5 \cdot x^6 = x^{5+6} = x^{11}$.

Ответ: $x^{11}$

б) Упростим выражение $(x^3)^4 \cdot x^8$.

Сначала раскроем скобки в первом множителе по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Теперь умножим полученный результат на $x^8$ по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{12} \cdot x^8 = x^{12+8} = x^{20}$.

Ответ: $x^{20}$

в) Упростим выражение $(x^4)^2 \cdot (x^5)^3$.

Сначала упростим каждый множитель в скобках, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.

$(x^5)^3 = x^{5 \cdot 3} = x^{15}$.

Затем перемножим полученные степени, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^8 \cdot x^{15} = x^{8+15} = x^{23}$.

Ответ: $x^{23}$

г) Упростим выражение $(x^2)^3 \cdot (x^3)^5$.

Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю:

$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.

$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$.

Теперь перемножим результаты, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^6 \cdot x^{15} = x^{6+15} = x^{21}$.

Ответ: $x^{21}$

д) Упростим выражение $(x^8)^2 \cdot (x^4)^5$.

Упростим каждый множитель по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^8)^2 = x^{8 \cdot 2} = x^{16}$.

$(x^4)^5 = x^{4 \cdot 5} = x^{20}$.

Перемножим полученные степени по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{16} \cdot x^{20} = x^{16+20} = x^{36}$.

Ответ: $x^{36}$

е) Упростим выражение $(x^7)^3 \cdot (x^3)^4$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для каждого множителя:

$(x^7)^3 = x^{7 \cdot 3} = x^{21}$.

$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$.

Теперь используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{21} \cdot x^{12} = x^{21+12} = x^{33}$.

Ответ: $x^{33}$