Номер 2, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 2, страница 108.

Условие.

2 Сформулируйте и докажите основное свойство степени.

Решение 1.

Решение 5.

Формулировка основного свойства степени

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. В виде формулы это свойство записывается так:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Это равенство справедливо для любого числа $a$ (основания степени) и любых натуральных показателей $m$ и $n$. Впоследствии это свойство обобщается для целых, рациональных и действительных показателей.

Ответ: Основное свойство степени выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Доказательство

Докажем это свойство для натуральных показателей $m$ и $n$, используя определение степени. По определению, степень числа $a$ с натуральным показателем $k$ (где $k > 1$) — это произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Запишем левую часть равенства $a^m \cdot a^n$ и распишем каждый множитель по определению степени:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим их:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Сняв скобки, мы получим произведение, в котором множитель $a$ участвует $m$ раз из первого сомножителя и $n$ раз из второго. Общее количество множителей $a$ будет равно $m+n$.

$(\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}) = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени, произведение $m+n$ одинаковых множителей $a$ равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $a^m \cdot a^n$ равна правой части $a^{m+n}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для натуральных $m$ и $n$ доказано на основе определения степени путем подсчета общего числа одинаковых множителей в произведении.