Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

2 Сформулируйте и докажите основное свойство степени.

Формулировка основного свойства степени

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают. В виде формулы это свойство записывается так:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Это равенство справедливо для любого числа $a$ (основания степени) и любых натуральных показателей $m$ и $n$. Впоследствии это свойство обобщается для целых, рациональных и действительных показателей.

Ответ: Основное свойство степени выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Доказательство

Докажем это свойство для натуральных показателей $m$ и $n$, используя определение степени. По определению, степень числа $a$ с натуральным показателем $k$ (где $k > 1$) — это произведение $k$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Запишем левую часть равенства $a^m \cdot a^n$ и распишем каждый множитель по определению степени:

$a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}$

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Теперь перемножим их:

$a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}})$

Сняв скобки, мы получим произведение, в котором множитель $a$ участвует $m$ раз из первого сомножителя и $n$ раз из второго. Общее количество множителей $a$ будет равно $m+n$.

$(\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ множителей}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}) = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ множителей}}$

По определению степени, произведение $m+n$ одинаковых множителей $a$ равно $a^{m+n}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $a^m \cdot a^n$ равна правой части $a^{m+n}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для натуральных $m$ и $n$ доказано на основе определения степени путем подсчета общего числа одинаковых множителей в произведении.

Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

Определение степени числа с нулевым показателем является логическим продолжением свойств степени с натуральным показателем. Чтобы понять, почему любое ненулевое число в степени ноль равно единице, обратимся к правилу деления степеней с одинаковым основанием.

Это правило гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. В виде формулы это выглядит так: $a^m / a^n = a^{m-n}$. Данное свойство выполняется для любого основания $a \neq 0$ и натуральных показателей $m$ и $n$.

Для того чтобы свойство оставалось верным для всех целых показателей, рассмотрим случай, когда показатели степеней равны, то есть $m = n$. Возьмем выражение $a^n / a^n$, где $a$ — любое число, не равное нулю.

С одной стороны, мы знаем, что любое ненулевое число, деленное само на себя, дает в результате единицу. Таким образом, мы можем записать: $a^n / a^n = 1$.

С другой стороны, если мы применим к этому же выражению правило деления степеней, то получим: $a^n / a^n = a^{n-n} = a^0$.

Так как левые части обоих равенств ($a^n / a^n$) одинаковы, то должны быть равны и их правые части. Отсюда мы и получаем фундаментальное равенство: $a^0 = 1$.

Важно отметить, почему это правило не применяется к нулю. Основание $a$ должно быть не равно нулю ($a \neq 0$), поскольку в нашем выводе используется операция деления на $a^n$. Если бы $a=0$, это привело бы к делению на ноль, которое в математике не определено. По этой причине выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) считается неопределенным.

Ответ: Степенью любого числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. Формулой это записывается так: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

3 Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение $12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$.

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями заключается в следующем: при умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели степеней складывают.

Это правило можно выразить с помощью формулы:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

где $a$ является основанием степени, а $m$ и $n$ — показателями степени.

Ответ: При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Представьте в виде степени произведение $12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$

Чтобы представить данное произведение в виде степени, необходимо применить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. В данном выражении все множители имеют одинаковое основание, равное 12.

Заметим, что первый множитель 12 можно представить в виде степени с показателем 1, то есть $12 = 12^1$.

Теперь перепишем исходное произведение:

$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^1 \cdot 12^3 \cdot 12^6$

Далее, согласно правилу, оставляем основание 12 неизменным, а показатели степеней (1, 3 и 6) складываем:

$12^{1+3+6} = 12^{10}$

Следовательно, произведение $12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$ в виде степени записывается как $12^{10}$.

Ответ: $12^{10}$

6 Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: $(5ab)^4$; $(a^3)^6$; $y^4 \cdot (y^2)^6$.

Правило возведения в степень произведения
Чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить.
Формула: $(ab)^n = a^n b^n$.

Правило возведения в степень степени
Чтобы возвести степень в степень, нужно основание степени оставить тем же, а показатели степеней перемножить.
Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Представьте в виде степени выражение (5ab)⁴
Используем правило возведения в степень произведения. Каждый множитель в скобках необходимо возвести в 4-ю степень:
$(5ab)^4 = 5^4 \cdot a^4 \cdot b^4$
Вычисляем значение $5^4$:
$5^4 = 625$
Подставляем полученное значение в выражение:
$625a^4b^4$
Ответ: $625a^4b^4$.

Представьте в виде степени выражение (a³)⁶
Используем правило возведения степени в степень. Основание $a$ оставляем без изменений, а показатели степеней 3 и 6 перемножаем:
$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$
Ответ: $a^{18}$.

Представьте в виде степени выражение y⁴ ⋅ (y²)⁶
Сначала упростим второй множитель $(y^2)^6$, используя правило возведения степени в степень:
$(y^2)^6 = y^{2 \cdot 6} = y^{12}$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$y^4 \cdot y^{12}$
Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):
$y^4 \cdot y^{12} = y^{4+12} = y^{16}$
Ответ: $y^{16}$.

1 Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени.

Степенью числа 𝑎 с натуральным показателем 𝑛, большим единицы (то есть 𝑛 > 1), называется произведение 𝑛 множителей, каждый из которых равен 𝑎.

Это записывается в виде формулы:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Степенью числа 𝑎 с показателем 1 называется само это число 𝑎.

$a^1 = a$

В выражении $a^n$ число 𝑎 называют основанием степени, а натуральное число 𝑛 — показателем степени.

Ниже приведены примеры с указанием основания и показателя степени:

1. Пример: $5^3$

Это произведение трех множителей, каждый из которых равен 5: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
В данном примере основание степени равно 5, а показатель степени равен 3.

2. Пример: $(-2)^4$

Это произведение четырех множителей, каждый из которых равен -2: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Здесь основание степени — это -2, а показатель степени — 4.

3. Пример: $10^1$

По определению степени с показателем 1, это выражение равно самому основанию: $10^1 = 10$.
В этом выражении основание степени равно 10, а показатель степени — 1.

Ответ: Степенью числа 𝑎 с натуральным показателем 𝑛 > 1 является произведение 𝑛 множителей, равных 𝑎 ($a^n$). Степень с показателем 1 равна самому числу 𝑎. Число 𝑎 — это основание степени, а 𝑛 — показатель степени. Примеры, в которых указаны основание и показатель, приведены выше.

4 Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное $5,7^6 : 5,7^3$.

Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, отличными от нуля, нужно основание оставить тем же, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

В виде формулы это правило записывается так: $a^m : a^n = a^{m-n}$, где $a \neq 0$, а $m$ и $n$ – произвольные числа.

Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Представьте в виде степени частное $5,7^6 : 5,7^3$

Для того чтобы представить данное частное в виде степени, необходимо применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В данном выражении основание степени $a = 5,7$, показатель степени делимого $m = 6$, а показатель степени делителя $n = 3$.

Подставим эти значения в формулу и выполним вычисление:

$5,7^6 : 5,7^3 = 5,7^{6-3} = 5,7^3$.

Ответ: $5,7^3$.