Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

465. Функция задана формулой $y = -\\frac{2}{3}x$. Найдите значение функции при $x = -3; 3; \\frac{2}{3}; -\\frac{2}{3}; 2,4$. При каком $x$ значение $y$ равно 1; -6; -10,2?

Дана функция, заданная формулой $y = -\frac{2}{3}x$.

Найдите значение функции при x = -3; 3; $\frac{2}{3}$; $-\frac{2}{3}$; 2,4.

Для нахождения значения функции $y$ подставим соответствующие значения аргумента $x$ в формулу функции.

При $x = -3$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot (-3) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.
Ответ: 2.

При $x = 3$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -\frac{2 \cdot 3}{3} = -2$.
Ответ: -2.

При $x = \frac{2}{3}$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{9}$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$.

При $x = -\frac{2}{3}$:
$y = -\frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

При $x = 2,4$:
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
$y = -\frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = -\frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 5} = -\frac{2 \cdot 4}{5} = -\frac{8}{5} = -1,6$.
Ответ: -1,6.

При каком x значение y равно 1; -6; -10,2?

Для нахождения значения аргумента $x$ при известном значении функции $y$ выразим $x$ из формулы $y = -\frac{2}{3}x$.
$x = y \div (-\frac{2}{3}) = y \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}y$.
Теперь подставим заданные значения $y$ в полученную формулу.

При $y = 1$:
$x = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -1,5$.
Ответ: -1,5.

При $y = -6$:
$x = -\frac{3}{2} \cdot (-6) = \frac{3 \cdot 6}{2} = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9.

При $y = -10,2$:
$x = -\frac{3}{2} \cdot (-10,2) = 1,5 \cdot 10,2 = 15,3$.
Ответ: 15,3.

463. Какова степень одночлена:

а) $-7x^5y^6$;

б) $-abc$;

в) $0.8mn^3k^2$;

г) $ab^2c^3$;

д) $-6m^7$;

е) $23$?

а) Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В одночлене $-7x^5y^6$ переменными являются $x$ и $y$ с показателями степеней 5 и 6 соответственно. Чтобы найти степень одночлена, нужно сложить эти показатели: $5 + 6 = 11$.
Ответ: 11

б) В одночлене $-abc$ каждая переменная ($a$, $b$ и $c$) стоит в первой степени, что можно записать как $-a^1b^1c^1$. Степень этого одночлена равна сумме показателей степеней его переменных: $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3

в) В одночлене $0,8mn^3k^2$ переменные $m$, $n$ и $k$ имеют показатели степеней 1, 3 и 2 соответственно (поскольку $m = m^1$). Складываем показатели степеней, чтобы найти степень одночлена: $1 + 3 + 2 = 6$.
Ответ: 6

г) В одночлене $ab^2c^3$ переменные $a$, $b$ и $c$ имеют показатели степеней 1, 2 и 3 соответственно (поскольку $a = a^1$). Степень одночлена равна сумме этих показателей: $1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6

д) В одночлене $-6m^7$ есть только одна переменная $m$, и ее показатель степени равен 7. Следовательно, степень этого одночлена равна 7.
Ответ: 7

е) Число 23 является одночленом-константой. Считается, что такой одночлен не содержит переменных, или что любая переменная входит в него в нулевой степени (например, $23 = 23x^0$, так как $x^0 = 1$). Таким образом, степень этого одночлена равна 0.
Ответ: 0

466. Найдите значение выражения:

а) $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$;б) $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$, представим основания степеней в виде произведения простых чисел.
Число 4 можно представить как $2^2$, а число 6 — как $2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Воспользуемся свойствами степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим дробь на общий множитель $3^{10}$:
$\frac{2^6}{2^{10}}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{6-10} = 2^{-4}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$, разложим основания 6 и 9 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}$
Используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, раскроем скобки:
$\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Сократим дробь на $3^{18}$:
$\frac{2^{24}}{2^{25}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{24-25} = 2^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

464. Найдите координаты точки $B$, симметричной точке $A(-7; 15)$ относительно:

a) оси $x$;

б) оси $y$;

в) начала координат.

а) оси x

При симметрии точки относительно оси абсцисс (оси $x$), ее абсцисса ($x$) остается без изменений, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.
Исходная точка $A$ имеет координаты $(-7; 15)$. Обозначим симметричную ей точку как $B(x_B; y_B)$.
Тогда абсцисса точки $B$ будет равна абсциссе точки $A$: $x_B = -7$.
Ордината точки $B$ будет противоположна по знаку ординате точки $A$: $y_B = -15$.
Таким образом, координаты точки $B$, симметричной точке $A$ относительно оси $x$, равны $(-7; -15)$.
Ответ: $B(-7; -15)$

б) оси y

При симметрии точки относительно оси ординат (оси $y$), ее ордината ($y$) остается без изменений, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный.
Для точки $A(-7; 15)$:
Абсцисса точки $B$ будет противоположна по знаку абсциссе точки $A$: $x_B = -(-7) = 7$.
Ордината точки $B$ будет равна ординате точки $A$: $y_B = 15$.
Таким образом, координаты точки $B$, симметричной точке $A$ относительно оси $y$, равны $(7; 15)$.
Ответ: $B(7; 15)$

в) начала координат

При симметрии точки относительно начала координат (точки $O(0;0)$), обе ее координаты, абсцисса и ордината, меняют свои знаки на противоположные.
Для точки $A(-7; 15)$:
Абсцисса точки $B$ будет противоположна по знаку абсциссе точки $A$: $x_B = -(-7) = 7$.
Ордината точки $B$ будет противоположна по знаку ординате точки $A$: $y_B = -15$.
Таким образом, координаты точки $B$, симметричной точке $A$ относительно начала координат, равны $(7; -15)$.
Ответ: $B(7; -15)$