Страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

420. Найдите значение выражения:

а) $3x^0$ при $x = 2,6$;

б) $-2,5y^0$ при $y = -1\frac{2}{3}$;

в) $10a^2b^0$ при $a = -3, b = -8$;

г) $27a^0c^3$ при $a = \frac{2}{3}, c = -\frac{1}{3}$.

а) Чтобы найти значение выражения $3x^0$ при $x = 2,6$, воспользуемся свойством степени с нулевым показателем. Любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно 1.
Поскольку $x = 2,6 \neq 0$, то $x^0 = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$3x^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

б) Чтобы найти значение выражения $-2,5y^0$ при $y = -1\frac{2}{3}$, также используем свойство степени с нулевым показателем.
Поскольку $y = -1\frac{2}{3} \neq 0$, то $y^0 = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$-2,5y^0 = -2,5 \cdot 1 = -2,5$.
Ответ: -2,5

в) Чтобы найти значение выражения $10a^2b^0$ при $a = -3, b = -8$, сначала упростим выражение.
Поскольку $b = -8 \neq 0$, то $b^0 = 1$.
Выражение принимает вид: $10a^2b^0 = 10a^2 \cdot 1 = 10a^2$.
Теперь подставим значение $a = -3$ в упрощенное выражение:
$10a^2 = 10 \cdot (-3)^2 = 10 \cdot 9 = 90$.
Ответ: 90

г) Чтобы найти значение выражения $27a^0c^3$ при $a = \frac{2}{3}, c = -\frac{1}{3}$, сначала упростим выражение.
Поскольку $a = \frac{2}{3} \neq 0$, то $a^0 = 1$.
Выражение принимает вид: $27a^0c^3 = 27 \cdot 1 \cdot c^3 = 27c^3$.
Теперь подставим значение $c = -\frac{1}{3}$ в упрощенное выражение:
$27c^3 = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 27 \cdot (-\frac{1^3}{3^3}) = 27 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{27}{27} = -1$.
Ответ: -1

423. Постройте график функции, заданной формулой $y = x - 3$. Найдите по графику значения функции при $x = 4$ и $x = 6$.

Постройте график функции, заданной формулой $y = x - 3$.

Функция, заданная формулой $y = x - 3$, является линейной функцией вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=1$ и свободный член $b=-3$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, через которые она проходит.

Составим таблицу значений для двух произвольных точек:

• Пусть $x = 0$. Тогда значение функции будет $y = 0 - 3 = -3$. Получили первую точку с координатами $(0; -3)$. Эта точка также является точкой пересечения графика с осью ординат (Oy).
• Пусть $x = 3$. Тогда значение функции будет $y = 3 - 3 = 0$. Получили вторую точку с координатами $(3; 0)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

Для построения графика необходимо начертить систему координат, отметить на ней точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$ и провести через них прямую линию. Эта линия и есть график функции $y = x - 3$.

Найдите по графику значения функции при $x = 4$ и $x = 6$.

Теперь, используя построенный график, найдем соответствующие значения функции ($y$) для заданных значений аргумента ($x$).

• При $x = 4$: Находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку, соответствующую значению 4. Из этой точки мысленно проводим вертикальную линию до пересечения с нашим графиком. Затем от точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси ординат (вертикальной оси). Эта линия пересекает ось ординат в точке, соответствующей значению $y = 1$.
• При $x = 6$: Поступаем аналогично. Находим на оси абсцисс точку 6. Проводим от нее вертикальную линию до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат. Она пересечет ось в точке, соответствующей значению $y = 3$.

Для проверки можно подставить значения $x$ в исходную формулу:
Если $x = 4$, то $y = 4 - 3 = 1$.
Если $x = 6$, то $y = 6 - 3 = 3$.
Расчеты подтверждают значения, найденные по графику.

Ответ: по графику найдено, что при $x = 4$ значение функции $y = 1$, а при $x = 6$ значение функции $y = 3$.

426. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой $y = x^3 - 3x^2$, точка A(7; 196)? точка B(-5; -200)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты (x; y) в формулу, задающую функцию. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное — не принадлежит.

Дана функция $y = x^3 - 3x^2$.

точка А(7; 196)?

Подставим координаты точки А, где $x = 7$ и $y = 196$, в уравнение функции:

$196 = 7^3 - 3 \cdot 7^2$

Выполним вычисления в правой части:

$7^3 - 3 \cdot 7^2 = 343 - 3 \cdot 49 = 343 - 147 = 196$

В результате мы получили верное равенство: $196 = 196$.

Это означает, что точка А(7; 196) принадлежит графику функции $y = x^3 - 3x^2$.

Ответ: да, принадлежит.

точка B(-5; -200)?

Подставим координаты точки B, где $x = -5$ и $y = -200$, в уравнение функции:

$-200 = (-5)^3 - 3 \cdot (-5)^2$

Выполним вычисления в правой части:

$(-5)^3 - 3 \cdot (-5)^2 = -125 - 3 \cdot 25 = -125 - 75 = -200$

В результате мы получили верное равенство: $-200 = -200$.

Это означает, что точка B(-5; -200) принадлежит графику функции $y = x^3 - 3x^2$.

Ответ: да, принадлежит.

421. Выполните действия:

а) $b^4b^0;$

б) $c^5 : c^0;$

в) $a^4a^0;$

г) $x^3 : x^0.$

а) $b^4 b^0$

Для выполнения данного действия нужно знать основное свойство степени с нулевым показателем: любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице. То есть, $x^0 = 1$ при $x \neq 0$.

Также воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении степеней их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Применим это правило к выражению:

$b^4 \cdot b^0 = b^{4+0} = b^4$.

Можно также сначала вычислить $b^0 = 1$ (при $b \neq 0$), а затем выполнить умножение:

$b^4 \cdot b^0 = b^4 \cdot 1 = b^4$.

Ответ: $b^4$.

б) $c^5 : c^0$

Для решения этого примера воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней из показателя делимого вычитается показатель делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Применим это правило:

$c^5 : c^0 = c^{5-0} = c^5$.

Также можно сначала вычислить значение $c^0 = 1$ (при $c \neq 0$), а затем выполнить деление:

$c^5 : c^0 = c^5 : 1 = c^5$.

Ответ: $c^5$.

в) $a^4 a^0$

Данное выражение аналогично примеру из пункта а). Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$).

Выполним сложение показателей степеней:

$a^4 \cdot a^0 = a^{4+0} = a^4$.

Альтернативный способ — заменить $a^0$ на 1 (при $a \neq 0$):

$a^4 \cdot 1 = a^4$.

Ответ: $a^4$.

г) $x^3 : x^0$

Данное выражение аналогично примеру из пункта б). Используем правило деления степеней с одинаковым основанием ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

Выполним вычитание показателей степеней:

$x^3 : x^0 = x^{3-0} = x^3$.

Альтернативный способ — заменить $x^0$ на 1 (при $x \neq 0$):

$x^3 : 1 = x^3$.

Ответ: $x^3$.

424. Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за $t$ ч прошёл расстояние $s$ км. Задайте формулой зависимость $s$ от $t$. Пользуясь этой формулой, найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч.

Задайте формулу зависимости s от t

Расстояние ($s$), пройденное объектом, вычисляется как произведение его скорости ($v$) на время движения ($t$). Общая формула выглядит так: $s = v \cdot t$.

В условии задачи указано, что скорость автомобиля постоянна и равна $v = 70$ км/ч. Подставив это значение в общую формулу, мы получим искомую зависимость расстояния $s$ (в километрах) от времени $t$ (в часах):

$s(t) = 70t$

Ответ: $s = 70t$.

Найдите путь, который автомобиль прошёл за время от 3 ч 30 мин до 5 ч

Чтобы найти путь, пройденный за указанный промежуток времени, необходимо вычислить разность расстояний, пройденных к концу и к началу этого промежутка.

1. Сначала переведем моменты времени в часы. Начальный момент времени: $t_1 = 3$ ч $30$ мин. Так как $30 \text{ мин} = 0.5 \text{ ч}$, то $t_1 = 3.5$ ч. Конечный момент времени: $t_2 = 5$ ч.

2. Теперь, используя полученную формулу $s = 70t$, рассчитаем расстояние от начала движения до каждого из этих моментов. Расстояние, пройденное за $3.5$ часа: $s_1 = 70 \cdot 3.5 = 245$ км.

Расстояние, пройденное за $5$ часов: $s_2 = 70 \cdot 5 = 350$ км.

3. Путь, пройденный автомобилем за время от $3$ ч $30$ мин до $5$ ч, равен разности $s_2$ и $s_1$: $s = s_2 - s_1 = 350 - 245 = 105$ км.

Также можно было найти продолжительность движения $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 \text{ ч} - 3.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$ и умножить её на скорость: $s = 70 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч} = 105 \text{ км}$.

Ответ: 105 км.

427. Кусок гранита объёмом $40 \text{ см}^3$ имеет массу 108 г. Какова масса куска гранита, объём которого на $35 \text{ см}^3$ больше?

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие плотности вещества. Плотность — это физическая величина, которая показывает, какая масса вещества содержится в единице его объёма. Так как оба куска сделаны из одного и того же материала (гранита), их плотность будет одинаковой.

Решение можно разбить на три этапа:

1. Найдём плотность гранита

Плотность ($\rho$) вычисляется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$, где $m$ — масса, а $V$ — объём.

Из условия нам известны масса первого куска гранита $m_1 = 108$ г и его объём $V_1 = 40$ см³.

Подставим эти значения в формулу:

$\rho = \frac{108 \text{ г}}{40 \text{ см}^3} = 2,7 \text{ г/см}^3$

Таким образом, плотность гранита составляет 2,7 грамма на кубический сантиметр.

2. Найдём объём второго куска гранита

В условии сказано, что объём второго куска ($V_2$) на 35 см³ больше объёма первого куска. Вычислим его:

$V_2 = V_1 + 35 \text{ см}^3 = 40 \text{ см}^3 + 35 \text{ см}^3 = 75 \text{ см}^3$

3. Найдём массу второго куска гранита

Теперь, зная плотность гранита ($\rho = 2,7 \text{ г/см}^3$) и объём второго куска ($V_2 = 75 \text{ см}^3$), мы можем найти его массу ($m_2$). Для этого преобразуем формулу плотности: $m = \rho \cdot V$.

Рассчитаем массу второго куска:

$m_2 = 2,7 \text{ г/см}^3 \cdot 75 \text{ см}^3 = 202,5 \text{ г}$

Ответ: масса куска гранита, объём которого на 35 см³ больше, составляет 202,5 г.

422. Представьте в виде квадрата или куба число:

а) 9;

б) -27;

в) 6,25;

г) 0,064;

д) $-3\frac{3}{8}$;

е) $5\frac{4}{9}$.

а) Чтобы представить число 9 в виде квадрата или куба, нужно найти такое число, которое при возведении во вторую или третью степень даст 9. Число 9 является полным квадратом, так как оно равно произведению двух одинаковых чисел: $3 \times 3$.
Следовательно, $9 = 3^2$.
Ответ: $3^2$

б) Число -27 является отрицательным. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому -27 нельзя представить в виде квадрата. Проверим, является ли оно кубом какого-либо числа. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^3 = -27$.
Так как $3^3 = 27$, то $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.
Следовательно, $-27 = (-3)^3$.
Ответ: $(-3)^3$

в) Число 6,25 является положительным. Попробуем представить его в виде квадрата. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^2 = 6,25$.
Можно заметить, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, значит, искомое число находится между 2 и 3 и заканчивается на 5. Проверим число 2,5:
$2,5^2 = 2,5 \times 2,5 = 6,25$.
Следовательно, $6,25 = 2,5^2$.
Ответ: $2,5^2$

г) Число 0,064 является положительным. Представим его в виде обыкновенной дроби: $0,064 = \frac{64}{1000}$.
Проверим, является ли оно кубом какого-либо числа. Нам нужно найти число $x$, такое что $x^3 = \frac{64}{1000}$.
Найдем кубический корень из числителя и знаменателя: $\sqrt[3]{64} = 4$ и $\sqrt[3]{1000} = 10$.
Значит, искомое число равно $\frac{4}{10} = 0,4$.
Проверка: $0,4^3 = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,16 \times 0,4 = 0,064$.
Следовательно, $0,064 = 0,4^3$.
Ответ: $0,4^3$

д) Сначала преобразуем смешанную дробь $-3\frac{3}{8}$ в неправильную:
$-3\frac{3}{8} = -(\frac{3 \times 8 + 3}{8}) = -\frac{27}{8}$.
Это отрицательное число, поэтому оно может быть только кубом. Найдем число $x$, такое что $x^3 = -\frac{27}{8}$.
Найдем кубический корень из дроби: $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{3}{2}$.
Следовательно, $-3\frac{3}{8} = (-\frac{3}{2})^3$.
Ответ: $(-\frac{3}{2})^3$

е) Сначала преобразуем смешанную дробь $5\frac{4}{9}$ в неправильную:
$5\frac{4}{9} = \frac{5 \times 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9}$.
Это положительное число. Проверим, является ли оно квадратом. Найдем число $x$, такое что $x^2 = \frac{49}{9}$.
Найдем квадратный корень из дроби: $\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$.
Следовательно, $5\frac{4}{9} = (\frac{7}{3})^2$.
Ответ: $(\frac{7}{3})^2$

425. Пусть $a$ — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

а) $6a^2$;

б) $-a^2$;

в) $a^2 + 4$;

г) $(a + 4)^2$;

д) $-a^2 - 5$.

а) Рассмотрим выражение $6a^2$. Поскольку $a$ — произвольное число, то $a^2$ является квадратом этого числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. При умножении неотрицательного числа на положительное число (в данном случае 6), результат также будет неотрицательным.
Если $a = 0$, то $6a^2 = 6 \cdot 0^2 = 0$.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и следовательно $6a^2 > 0$.
Таким образом, значение выражения $6a^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $6a^2 \ge 0$.

б) Рассмотрим выражение $-a^2$. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$ для любого числа $a$. Если перед неотрицательным выражением стоит знак минус, это эквивалентно умножению на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Следовательно, $-a^2 \le 0$.
Если $a = 0$, то $-a^2 = -0^2 = 0$.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и следовательно $-a^2 < 0$.
Таким образом, значение выражения $-a^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-a^2 \le 0$.

в) Рассмотрим выражение $a^2 + 4$. Как мы установили, $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число (4), то сумма всегда будет положительной.
Минимальное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае $a^2 + 4 = 0 + 4 = 4$.
Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $a^2 + 4 \ge 4$.
Так как $4 > 0$, то выражение $a^2 + 4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $a^2 + 4 > 0$.

г) Рассмотрим выражение $(a + 4)^2$. Это выражение представляет собой квадрат числа $(a+4)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Следовательно, $(a + 4)^2 \ge 0$.
Значение выражения равно нулю, если основание степени равно нулю: $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$.
Если $a \ne -4$, то $a+4 \ne 0$, и $(a + 4)^2 > 0$.
Таким образом, значение выражения $(a + 4)^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $(a + 4)^2 \ge 0$.

д) Рассмотрим выражение $-a^2 - 5$. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Тогда $-a^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть положительное число (5), результат всегда будет отрицательным.
Можно рассуждать иначе. Максимальное значение $-a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение равно $0 - 5 = -5$.
Поскольку $-a^2 \le 0$, то $-a^2 - 5 \le 0 - 5$, то есть $-a^2 - 5 \le -5$.
Так как $-5 < 0$, то выражение $-a^2 - 5$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: $-a^2 - 5 < 0$.