Номер 425, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 425, страница 103.

Условие.

425. Пусть $a$ — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

а) $6a^2$;

б) $-a^2$;

в) $a^2 + 4$;

г) $(a + 4)^2$;

д) $-a^2 - 5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Рассмотрим выражение $6a^2$. Поскольку $a$ — произвольное число, то $a^2$ является квадратом этого числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. При умножении неотрицательного числа на положительное число (в данном случае 6), результат также будет неотрицательным.
Если $a = 0$, то $6a^2 = 6 \cdot 0^2 = 0$.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и следовательно $6a^2 > 0$.
Таким образом, значение выражения $6a^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $6a^2 \ge 0$.

б) Рассмотрим выражение $-a^2$. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$ для любого числа $a$. Если перед неотрицательным выражением стоит знак минус, это эквивалентно умножению на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Следовательно, $-a^2 \le 0$.
Если $a = 0$, то $-a^2 = -0^2 = 0$.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и следовательно $-a^2 < 0$.
Таким образом, значение выражения $-a^2$ всегда меньше или равно нулю.
Ответ: $-a^2 \le 0$.

в) Рассмотрим выражение $a^2 + 4$. Как мы установили, $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число (4), то сумма всегда будет положительной.
Минимальное значение $a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае $a^2 + 4 = 0 + 4 = 4$.
Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 4 \ge 0 + 4$, то есть $a^2 + 4 \ge 4$.
Так как $4 > 0$, то выражение $a^2 + 4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: $a^2 + 4 > 0$.

г) Рассмотрим выражение $(a + 4)^2$. Это выражение представляет собой квадрат числа $(a+4)$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Следовательно, $(a + 4)^2 \ge 0$.
Значение выражения равно нулю, если основание степени равно нулю: $a + 4 = 0$, то есть $a = -4$.
Если $a \ne -4$, то $a+4 \ne 0$, и $(a + 4)^2 > 0$.
Таким образом, значение выражения $(a + 4)^2$ всегда больше или равно нулю.
Ответ: $(a + 4)^2 \ge 0$.

д) Рассмотрим выражение $-a^2 - 5$. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Тогда $-a^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть положительное число (5), результат всегда будет отрицательным.
Можно рассуждать иначе. Максимальное значение $-a^2$ равно 0 (при $a=0$). В этом случае выражение равно $0 - 5 = -5$.
Поскольку $-a^2 \le 0$, то $-a^2 - 5 \le 0 - 5$, то есть $-a^2 - 5 \le -5$.
Так как $-5 < 0$, то выражение $-a^2 - 5$ всегда строго меньше нуля.
Ответ: $-a^2 - 5 < 0$.