Номер 431, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 431, страница 105.

Условие.

431. Докажите, что:

а) квадраты противоположных чисел равны;

б) кубы противоположных чисел противоположны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) квадраты противоположных чисел равны;
Пусть дано произвольное число $a$. Противоположным ему будет число $-a$. Необходимо доказать, что квадраты этих чисел равны, то есть что выполняется равенство $a^2 = (-a)^2$.
Рассмотрим квадрат числа $-a$. По определению степени, это произведение числа на само себя:
$(-a)^2 = (-a) \cdot (-a)$.
Поскольку $-a$ можно представить как произведение $(-1) \cdot a$, то:
$(-a)^2 = ((-1) \cdot a) \cdot ((-1) \cdot a)$.
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, мы можем перегруппировать множители:
$(-a)^2 = ((-1) \cdot (-1)) \cdot (a \cdot a)$.
Произведение $(-1) \cdot (-1) = 1$. Произведение $a \cdot a$ по определению равно $a^2$.
Подставляя эти значения, получаем:
$(-a)^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$.
Таким образом, мы доказали, что $(-a)^2 = a^2$, что и требовалось.
Ответ: Утверждение доказано.

б) кубы противоположных чисел противоположны.
Пусть снова дано произвольное число $a$ и противоположное ему число $-a$. Необходимо доказать, что их кубы являются противоположными числами. Два числа являются противоположными, если одно из них равно другому, взятому со знаком минус. Математически это означает, что нам нужно доказать равенство $(-a)^3 = -(a^3)$.
Рассмотрим куб числа $-a$:
$(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $(-a) \cdot (-a) = a^2$. Подставим это в наше выражение:
$(-a)^3 = ((-a) \cdot (-a)) \cdot (-a) = a^2 \cdot (-a)$.
Представим $-a$ как произведение $(-1) \cdot a$:
$(-a)^3 = a^2 \cdot ((-1) \cdot a)$.
Вынесем множитель $-1$ вперед:
$(-a)^3 = -1 \cdot (a^2 \cdot a)$.
По определению степени, $a^2 \cdot a = a^3$.
Следовательно:
$(-a)^3 = -1 \cdot a^3 = -a^3$.
Мы получили, что куб числа $-a$ равен $-(a^3)$, то есть является числом, противоположным кубу числа $a$.
Ответ: Утверждение доказано.