Номер 418, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 418, страница 102.

Условие.

418. Вычислите:

а) $\frac{7^9 \cdot 7^5}{7^{12}}$;

б) $\frac{3^{15}}{3^5 \cdot 3^6}$;

в) $\frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}}$;

г) $\frac{0,6^{12}}{0,6^4 \cdot 0,6^5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{7^9 \cdot 7^5}{7^{12}}$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$7^9 \cdot 7^5 = 7^{9+5} = 7^{14}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{7^{14}}{7^{12}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7^{14}}{7^{12}} = 7^{14-12} = 7^2$.
Вычислим полученное значение: $7^2 = 49$.
Ответ: 49

б) Для вычисления $\frac{3^{15}}{3^5 \cdot 3^6}$ сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}$.
Теперь выражение принимает вид: $\frac{3^{15}}{3^{11}}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^{15}}{3^{11}} = 3^{15-11} = 3^4$.
Вычислим результат: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Ответ: 81

в) Вычислим значение выражения $\frac{5^{16} \cdot 5^4}{5^{18}}$. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5^{16} \cdot 5^4 = 5^{16+4} = 5^{20}$.
Получим дробь: $\frac{5^{20}}{5^{18}}$.
Теперь применим правило деления степеней, вычитая показатели: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2$.
Вычислим итоговое значение: $5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Чтобы вычислить $\frac{0,6^{12}}{0,6^4 \cdot 0,6^5}$, начнем с упрощения знаменателя по правилу умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$0,6^4 \cdot 0,6^5 = 0,6^{4+5} = 0,6^9$.
Выражение теперь выглядит так: $\frac{0,6^{12}}{0,6^9}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{0,6^{12}}{0,6^9} = 0,6^{12-9} = 0,6^3$.
Вычислим результат: $0,6^3 = 0,6 \cdot 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \cdot 0,6 = 0,216$.
Ответ: 0,216