Страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

387. Выполните действия:

а) $7^2 + 3^3$;

б) $6^2 + 8^2$;

в) $(6 + 8)^2$;

г) $10^2 - 3^2$;

д) $(10 - 3)^2$;

е) $2^4 - 3^2$;

ж) $11 - 3^4$;

з) $(6 - 8)^5$;

и) $4^3 - 2^2$.

а) $7^2 + 3^3$.

В соответствии с порядком действий, сначала выполняем возведение в степень, а затем сложение.

1. Возводим 7 в квадрат: $7^2 = 7 \times 7 = 49$.

2. Возводим 3 в куб: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

3. Складываем полученные результаты: $49 + 27 = 76$.

Ответ: 76

б) $6^2 + 8^2$.

Сначала возводим каждое число в квадрат, а затем складываем результаты.

1. $6^2 = 6 \times 6 = 36$.

2. $8^2 = 8 \times 8 = 64$.

3. $36 + 64 = 100$.

Ответ: 100

в) $(6 + 8)^2$.

Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим результат в степень.

1. $6 + 8 = 14$.

2. $14^2 = 14 \times 14 = 196$.

Ответ: 196

г) $10^2 - 3^2$.

Сначала возводим числа в степень, а потом выполняем вычитание.

1. $10^2 = 10 \times 10 = 100$.

2. $3^2 = 3 \times 3 = 9$.

3. $100 - 9 = 91$.

Ответ: 91

д) $(10 - 3)^2$.

Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим результат в степень.

1. $10 - 3 = 7$.

2. $7^2 = 7 \times 7 = 49$.

Ответ: 49

е) $2^4 - 3^2$.

Сначала возводим числа в степень, а затем выполняем вычитание.

1. $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.

2. $3^2 = 3 \times 3 = 9$.

3. $16 - 9 = 7$.

Ответ: 7

ж) $11 - 3^4$.

В первую очередь выполняется возведение в степень.

1. $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

2. $11 - 81 = -70$.

Ответ: -70

з) $(6 - 8)^5$.

Сначала выполняем действие в скобках, а затем возводим результат в степень.

1. $6 - 8 = -2$.

2. Возводим отрицательное число в нечетную степень (5), поэтому результат будет отрицательным: $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$.

Ответ: -32

и) $4^3 - 2^2$.

Сначала возводим числа в степень, а потом выполняем вычитание.

1. $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

2. $2^2 = 2 \times 2 = 4$.

3. $64 - 4 = 60$.

Ответ: 60

390. Составьте формулу для вычисления площади кольца, изображённого на рисунке 58. Найдите площадь кольца, если $R = 6,4 \text{ см}$, $r = 3,6 \text{ см}$.

Рис. 58

Составьте формулу для вычисления площади кольца

Площадь кольца ($S$) представляет собой разность между площадью большого внешнего круга с радиусом $R$ и площадью малого внутреннего круга с радиусом $r$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь большого круга ($S_{R}$) равна: $S_{R} = \pi R^2$.

Площадь малого круга ($S_{r}$) равна: $S_{r} = \pi r^2$.

Следовательно, площадь кольца $S$ равна разности этих площадей:
$S = S_{R} - S_{r} = \pi R^2 - \pi r^2$.

Вынося общий множитель $\pi$ за скобки, получаем формулу для вычисления площади кольца:
$S = \pi (R^2 - r^2)$.

Ответ: $S = \pi (R^2 - r^2)$.

Найдите площадь кольца, если R = 6,4 см, r = 3,6 см

Для нахождения площади кольца воспользуемся выведенной формулой $S = \pi (R^2 - r^2)$ и подставим в нее заданные значения: $R = 6,4$ см и $r = 3,6$ см.

Для упрощения вычислений преобразуем выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$S = \pi (R - r)(R + r)$.

Теперь подставим числовые значения радиусов в эту формулу:
$S = \pi (6,4 - 3,6)(6,4 + 3,6)$.

Выполним вычисления в скобках:
$R - r = 6,4 - 3,6 = 2,8$ см.
$R + r = 6,4 + 3,6 = 10$ см.

Перемножим полученные значения:
$S = \pi \cdot 2,8 \cdot 10 = 28\pi$ см$^2$.

Ответ: $28\pi \text{ см}^2$.

385. Найдите значение выражения, используя таблицу квадратов, помещённую на форзаце учебника:

а) $34^2 - 175;$

б) $605 + 78^2;$

в) $42^2 \cdot 9;$

г) $18^2 : 27;$

д) $75^2 + 25^2;$

е) $59^2 - 36^2.$

а) $34^2 - 175$

Сначала найдем значение $34^2$, используя таблицу квадратов. $34^2 = 1156$.

Теперь выполним вычитание:

$1156 - 175 = 981$

Ответ: 981

б) $605 + 78^2$

По таблице квадратов находим значение $78^2$. $78^2 = 6084$.

Далее выполняем сложение:

$605 + 6084 = 6689$

Ответ: 6689

в) $42^2 \cdot 9$

По таблице квадратов находим, что $42^2 = 1764$.

Теперь выполним умножение:

$1764 \cdot 9 = 15876$

Ответ: 15876

г) $18^2 : 27$

По таблице квадратов находим, что $18^2 = 324$.

Далее выполняем деление:

$324 : 27 = 12$

Ответ: 12

д) $75^2 + 25^2$

Находим значения квадратов по таблице: $75^2 = 5625$ и $25^2 = 625$.

Теперь выполним сложение:

$5625 + 625 = 6250$

Ответ: 6250

е) $59^2 - 36^2$

Находим значения квадратов по таблице: $59^2 = 3481$ и $36^2 = 1296$.

Теперь выполним вычитание:

$3481 - 1296 = 2185$

Также это выражение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$59^2 - 36^2 = (59-36)(59+36) = 23 \cdot 95 = 2185$.

Ответ: 2185

388. Вычислите:

а) $-1^3 + (-2)^3$;

б) $-6^2 - (-1)^4$;

в) $-8^3 + (-3)^3$;

г) $10 - 5 \cdot 2^4$;

д) $2 \cdot 3^4 - 3 \cdot 2^4$;

е) $2 \cdot 5^3 + 5 \cdot 2^3$;

ж) $3^4 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot 6\frac{1}{4}$;

з) $0,2 \cdot 3^3 - 0,4 \cdot 2^4$;

и) $8 \cdot 0,5^3 + 25 \cdot 0,2^2$.

а) $-1^3 + (-2)^3$

Сначала вычисляем значения степеней. В выражении $-1^3$ степень относится только к числу 1, а не к знаку минус. В выражении $(-2)^3$ степень относится ко всему числу в скобках, то есть к $-2$.

1. $-1^3 = -(1 \cdot 1 \cdot 1) = -1$

2. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

3. Складываем полученные значения: $-1 + (-8) = -1 - 8 = -9$

Ответ: $-9$

б) $-6^2 - (-1)^4$

Вычисляем степени, соблюдая порядок действий. Степень имеет приоритет перед вычитанием.

1. $-6^2 = -(6 \cdot 6) = -36$ (степень относится только к 6)

2. $(-1)^4 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$ (отрицательное число в четной степени дает положительный результат)

3. Выполняем вычитание: $-36 - 1 = -37$

Ответ: $-37$

в) $-8^3 + (-3)^3$

Вычисляем значения каждой степени.

1. $-8^3 = -(8 \cdot 8 \cdot 8) = -(64 \cdot 8) = -512$

2. $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$

3. Складываем результаты: $-512 + (-27) = -512 - 27 = -539$

Ответ: $-539$

г) $10 - 5 \cdot 2^4$

Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Возводим в степень: $2^4 = 16$

2. Выполняем умножение: $5 \cdot 16 = 80$

3. Выполняем вычитание: $10 - 80 = -70$

Ответ: $-70$

д) $2 \cdot 3^4 - 3 \cdot 2^4$

Сначала вычисляем степени, затем произведения, и в конце — разность.

1. $3^4 = 81$

2. $2^4 = 16$

3. Вычисляем произведения: $2 \cdot 81 = 162$ и $3 \cdot 16 = 48$

4. Находим разность: $162 - 48 = 114$

Ответ: $114$

е) $2 \cdot 5^3 + 5 \cdot 2^3$

Выполняем действия в правильном порядке: степени, умножения, сложение.

1. $5^3 = 125$

2. $2^3 = 8$

3. Вычисляем произведения: $2 \cdot 125 = 250$ и $5 \cdot 8 = 40$

4. Находим сумму: $250 + 40 = 290$

Альтернативный способ: можно вынести общий множитель $2 \cdot 5 = 10$ за скобки.

$2 \cdot 5 \cdot 5^2 + 5 \cdot 2 \cdot 2^2 = 10 \cdot (5^2 + 2^2) = 10 \cdot (25 + 4) = 10 \cdot 29 = 290$

Ответ: $290$

ж) $3^4 - (\frac{2}{5})^2 \cdot 6\frac{1}{4}$

Сначала возводим в степень, затем выполняем умножение и после этого вычитание. Для удобства переведем смешанное число в неправильную дробь.

1. $3^4 = 81$

2. $(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

3. $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

4. Выполняем умножение: $\frac{4}{25} \cdot \frac{25}{4} = 1$

5. Выполняем вычитание: $81 - 1 = 80$

Ответ: $80$

з) $0.2 \cdot 3^3 - 0.4 \cdot 2^4$

Соблюдаем порядок действий: степени, умножения, вычитание.

1. $3^3 = 27$

2. $2^4 = 16$

3. Вычисляем произведения: $0.2 \cdot 27 = 5.4$ и $0.4 \cdot 16 = 6.4$

4. Находим разность: $5.4 - 6.4 = -1$

Ответ: $-1$

и) $8 \cdot 0.5^3 + 25 \cdot 0.2^2$

Для упрощения вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных.

1. $0.5 = \frac{1}{2}$ и $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

2. Возводим в степень: $0.5^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

3. Возводим в степень: $0.2^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1^2}{5^2} = \frac{1}{25}$

4. Подставляем полученные значения в выражение: $8 \cdot \frac{1}{8} + 25 \cdot \frac{1}{25}$

5. Выполняем умножение: $8 \cdot \frac{1}{8} = 1$ и $25 \cdot \frac{1}{25} = 1$

6. Выполняем сложение: $1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

386. Вычислите:

a) $9 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2;$

б) $\left(9 \cdot \frac{5}{6}\right)^2;$

в) $(-10)^6;$

г) $-10^6;$

д) $4 \cdot 5^3;$

е) $-5 \cdot 2^5;$

ж) $-2^4 \cdot 15;$

з) $2700 \cdot (-0,1)^3.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $9 \cdot (\frac{5}{6})^2$, сначала возведем дробь в квадрат, а затем умножим на 9.
$(\frac{5}{6})^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}$
$9 \cdot \frac{25}{36} = \frac{9 \cdot 25}{36}$
Сократим дробь на 9:
$\frac{9 \cdot 25}{36} = \frac{25}{4} = 6,25$
Ответ: $6,25$.

б) В выражении $(9 \cdot \frac{5}{6})^2$ сначала выполним умножение в скобках, а затем возведем результат в квадрат.
$9 \cdot \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 5}{6} = \frac{45}{6}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{45}{6} = \frac{15}{2}$
Теперь возведем в квадрат:
$(\frac{15}{2})^2 = \frac{15^2}{2^2} = \frac{225}{4} = 56,25$
Ответ: $56,25$.

в) Выражение $(-10)^6$ означает, что число -10 возводится в 6-ю степень. Так как показатель степени четный (6), результат будет положительным.
$(-10)^6 = 10^6 = 1000000$
Ответ: $1000000$.

г) В выражении $-10^6$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус (знак "минус" перед числом). Поэтому сначала вычисляется $10^6$, а затем к результату применяется знак минус.
$-10^6 = -(10^6) = -1000000$
Ответ: $-1000000$.

д) Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение.
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$4 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$
Ответ: $500$.

е) Сначала возводим 2 в 5-ю степень, затем результат умножаем на -5.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
$-5 \cdot 2^5 = -5 \cdot 32 = -160$
Ответ: $-160$.

ж) В выражении $-2^4 \cdot 15$ сначала вычисляется степень $2^4$, так как у нее наивысший приоритет. Знак "минус" не возводится в степень.
$2^4 = 16$
Затем выполняем умножение:
$-2^4 \cdot 15 = -(2^4) \cdot 15 = -16 \cdot 15 = -240$
Ответ: $-240$.

з) Сначала возведем $-0,1$ в куб. Так как показатель степени нечетный (3), результат будет отрицательным.
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$
Теперь умножим результат на 2700:
$2700 \cdot (-0,001) = -2,7$
Ответ: $-2,7$.

389. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, за- вершающегося полукругом (рис. 57). Составьте формулу для вычисления его площади $S$ (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно $a$ см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найди- те площадь окна, если $a = 80$. (Указание. Площадь круга равна $\pi r^2$, где $r$ — радиус круга, $\pi \approx 3,14$.)

Рис. 57

Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах)

Площадь окна $S$ состоит из площади прямоугольника $S_{пр}$ и площади полукруга $S_{пк}$, которым завершается прямоугольник.

$S = S_{пр} + S_{пк}$

1. Найдем площадь прямоугольника. Согласно условию, основание прямоугольника равно $a$ см. Высота прямоугольника в полтора раза больше основания, следовательно, она равна $1.5 \cdot a$ см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его основания на высоту:

$S_{пр} = a \cdot 1.5a = 1.5a^2$

2. Найдем площадь полукруга. Диаметр полукруга равен основанию прямоугольника, то есть $a$. Радиус $r$ полукруга равен половине диаметра:

$r = \frac{a}{2}$

Площадь целого круга вычисляется по формуле $\pi r^2$. Площадь полукруга составляет половину от этой площади:

$S_{пк} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$

3. Составим общую формулу для площади окна $S$. Для этого сложим площади прямоугольника и полукруга:

$S = S_{пр} + S_{пк} = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$

Ответ: Формула для вычисления площади окна: $S = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$.

Найдите площадь окна, если a = 80

Воспользуемся выведенной формулой. Подставим в нее известные значения: $a = 80$ см и $\pi \approx 3.14$.

$S = 1.5 \cdot (80)^2 + \frac{3.14 \cdot (80)^2}{8}$

Вычислим по частям:

Площадь прямоугольной части:

$S_{пр} = 1.5 \cdot (80)^2 = 1.5 \cdot 6400 = 9600$ см$^2$.

Площадь полукруглой части:

$S_{пк} = \frac{3.14 \cdot (80)^2}{8} = \frac{3.14 \cdot 6400}{8} = 3.14 \cdot 800 = 2512$ см$^2$.

Теперь найдем общую площадь, сложив полученные значения:

$S = 9600 + 2512 = 12112$ см$^2$.

Ответ: $12112$ см$^2$.