Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

355. Рыболов пошёл из дома на озеро, где ловил рыбу. Затем он возвратился обратно. График движения рыболова показан на рисунке 56. Узнайте по графику:

а) каково расстояние от дома до озера;

б) сколько часов шёл рыболов до озера и сколько часов он затратил на обратный путь;

в) сколько часов был рыболов на озере;

г) на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома;

д) через сколько часов после выхода рыболов был на расстоянии 6 км от дома;

е) какова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова на обратном пути.

Рис. 56

$s$, км

$t$, ч

а) Расстояние от дома до озера можно определить по графику зависимости расстояния $s$ от времени $t$. Максимальное значение расстояния, достигнутое рыболовом, соответствует расстоянию до озера. По графику видно, что вертикальная ось $s$ (расстояние в км) достигает максимального значения в 8 км.
Ответ: 8 км.

б) Время, которое рыболов шёл до озера, соответствует первому участку графика, где расстояние от дома увеличивалось. Этот участок начинается в момент времени $t=0$ ч и заканчивается в $t=2$ ч. Следовательно, время в пути до озера составляет: $t_1 = 2 - 0 = 2$ часа.
Обратный путь соответствует последнему участку графика, где расстояние от дома уменьшалось до нуля. Этот участок начинается в $t=8$ ч и заканчивается в $t=9,5$ ч. Следовательно, время, затраченное на обратный путь, составляет: $t_2 = 9,5 - 8 = 1,5$ часа.
Ответ: 2 часа шёл до озера и 1,5 часа затратил на обратный путь.

в) Время, которое рыболов был на озере, соответствует горизонтальному участку графика. На этом участке расстояние от дома не менялось, что означает, что рыболов не двигался. Этот участок начинается в $t=2$ ч и заканчивается в $t=8$ ч. Продолжительность этого периода составляет: $t_{\text{озеро}} = 8 - 2 = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.

г) Чтобы определить, на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 час, нужно найти значение $s$ при $t=1$ ч. На пути к озеру (от $t=0$ до $t=2$ ч) движение было равномерным. За 2 часа рыболов прошел 8 км, значит его скорость была $v = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4$ км/ч. За 1 час он прошел расстояние $s = v \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4$ км. Это значение также можно найти непосредственно на графике, определив координату по оси $s$ для точки на линии графика, где $t=1$ ч.
Ответ: 4 км.

д) Рыболов находился на расстоянии 6 км от дома дважды: по пути на озеро и на обратном пути.
1. На пути к озеру: скорость рыболова была 4 км/ч. Время, чтобы пройти 6 км, равно: $t = \frac{s}{v} = \frac{6 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 1,5$ часа.
2. На обратном пути: движение началось в $t=8$ ч с расстояния 8 км. Нужно найти время, когда расстояние стало 6 км. Это значит, что от озера рыболов прошел $8 - 6 = 2$ км. Скорость на обратном пути была $v_{\text{обр}} = \frac{8 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{16}{3}$ км/ч. Время, чтобы пройти 2 км, составляет: $t' = \frac{2 \text{ км}}{16/3 \text{ км/ч}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0,375$ часа. Это время нужно добавить ко времени начала обратного пути: $t_{\text{общ}} = 8 + 0,375 = 8,375$ часа.
Ответ: через 1,5 часа и через 8,375 часа.

е) Средняя скорость вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденный путь, $t$ — время движения.
1. На пути к озеру: $S_1 = 8$ км, $t_1 = 2$ ч. Средняя скорость: $v_1 = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4$ км/ч.
2. На обратном пути: $S_2 = 8$ км, $t_2 = 1,5$ ч. Средняя скорость: $v_2 = \frac{8 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{8}{3/2} \text{ км/ч} = \frac{16}{3}$ км/ч $\approx 5,33$ км/ч.
Ответ: средняя скорость на пути к озеру — 4 км/ч, на обратном пути — $\frac{16}{3}$ км/ч.

356. Изучая зависимость объёма $V$ жидкости в сосуде от высоты $h$ её уровня, получили таблицу:

$h$, см 3 6 9 12 15 18

$V$, л 1,2 3,1 5,6 9,7 14,7 21

Постройте график функции $V$ от $h$. Узнайте по графику:

а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см; 10 см;

б) какой будет высота уровня жидкости в сосуде, если в него налить 4 л; 10 л.

Для решения задачи построим график зависимости объема $V$ (в литрах) от высоты уровня жидкости $h$ (в сантиметрах). Отложим на горизонтальной оси (оси абсцисс) значения высоты $h$, а на вертикальной оси (оси ординат) — значения объема $V$. Нанесем на координатную плоскость точки, соответствующие данным из таблицы: $(3; 1,2)$, $(6; 3,1)$, $(9; 5,6)$, $(12; 9,7)$, $(15; 14,7)$ и $(18; 21)$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить график функции $V$ от $h$. Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) Чтобы найти, сколько литров жидкости налили в сосуд при определенной высоте, нужно найти на горизонтальной оси значение $h$, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси и определить соответствующее значение объема $V$.

При высоте уровня $h = 5$ см, найдя эту точку на горизонтальной оси, мы видим, что соответствующее значение объема на графике находится между $1,2$ л и $3,1$ л. По графику определяем, что $V \approx 2,3$ л.

При высоте уровня $h = 10$ см, найдя эту точку на горизонтальной оси, мы видим, что соответствующее значение объема на графике находится между $5,6$ л и $9,7$ л. По графику определяем, что $V \approx 6,8$ л.

Ответ: при высоте 5 см в сосуде примерно 2,3 л жидкости; при высоте 10 см — примерно 6,8 л.

б) Чтобы найти, какой будет высота уровня жидкости в сосуде при определенном объеме, нужно найти на вертикальной оси значение $V$, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опустить вертикальную линию на горизонтальную ось и определить соответствующее значение высоты $h$.

Если в него налить $V = 4$ л, найдя это значение на вертикальной оси, мы видим, что соответствующее значение высоты на графике находится между $6$ см и $9$ см. По графику определяем, что $h \approx 7,2$ см.

Если в него налить $V = 10$ л, найдя это значение на вертикальной оси, мы видим, что соответствующее значение высоты на графике находится очень близко к $12$ см, но немного больше, так как при $h=12$ см объем равен $9,7$ л. По графику определяем, что $h \approx 12,2$ см.

Ответ: при объеме 4 л высота уровня будет примерно 7,2 см; при объеме 10 л — примерно 12,2 см.

357. Постройте график функции, выбрав соответствующий масштаб:

а) $y = 100x$;

б) $y = 0.02x$.

а) y = 100x

Функция $y = 100x$ является прямой пропорциональностью. Графиком такой функции является прямая линия, которая проходит через начало координат. Для построения прямой нам необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Первая точка — это начало координат $(0; 0)$, так как при $x=0$ значение $y = 100 \cdot 0 = 0$.

2. Для нахождения второй точки подставим в уравнение любое ненулевое значение $x$. Например, пусть $x=1$. Тогда $y = 100 \cdot 1 = 100$. Мы получили вторую точку с координатами $(1; 100)$.

Мы видим, что значение по оси $y$ в 100 раз больше значения по оси $x$. Если использовать одинаковый масштаб по обеим осям, то график будет очень крутым и неудобным для изображения. Поэтому необходимо выбрать соответствующий, разный масштаб для осей.

Удобно выбрать такой масштаб, чтобы на оси абсцисс (Ox) единичный отрезок (например, 1 см или 2 клетки) соответствовал 1, а на оси ординат (Oy) единичный отрезок такой же длины соответствовал 100.

Таким образом, для построения графика выполняем следующие шаги:

1. Чертим координатные оси Ox и Oy.
2. Выбираем масштаб: по оси Ox 1 единичный отрезок = 1; по оси Oy 1 единичный отрезок = 100.
3. Отмечаем точку в начале координат $(0; 0)$.
4. Отмечаем вторую точку $(1; 100)$. При выбранном масштабе она будет находиться на пересечении перпендикуляров, восстановленных из отметки 1 на оси Ox и отметки 100 на оси Oy.
5. Проводим прямую линию через эти две точки.

Полученная прямая является графиком функции $y = 100x$.

Ответ: График функции $y=100x$ – это прямая, проходящая через точки $(0;0)$ и $(1;100)$. Для наглядного построения рекомендуется выбрать разный масштаб для осей: например, по оси Ox взять единичный отрезок, равный 1, а по оси Oy – единичный отрезок той же длины, равный 100.

б) y = 0,02x

Эта функция также является прямой пропорциональностью $y=kx$ с коэффициентом $k=0,02$. Ее график – прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$.

1. Первая точка — $(0; 0)$.

2. Найдем вторую точку для построения. Чтобы получить удобные для построения координаты, выберем такое значение $x$, чтобы $y$ получилось целым или легко изображаемым числом.

Пусть $x=50$. Тогда $y = 0,02 \cdot 50 = 1$. Получили точку $(50; 1)$. (Также можно было взять $x=100$, тогда $y = 0,02 \cdot 100 = 2$, что дало бы точку $(100; 2)$).

В этом случае значение по оси $x$ в 50 раз больше значения по оси $y$. Если использовать одинаковый масштаб, график будет очень пологим, почти сливающимся с осью Ox. Поэтому снова выберем разный масштаб.

Удобно выбрать следующий масштаб: по оси абсцисс (Ox) единичный отрезок (например, 1 см или 2 клетки) соответствует 50, а на оси ординат (Oy) единичный отрезок такой же длины соответствует 1.

Алгоритм построения:

1. Чертим координатные оси Ox и Oy.
2. Выбираем масштаб: по оси Ox 1 единичный отрезок = 50; по оси Oy 1 единичный отрезок = 1.
3. Отмечаем точку в начале координат $(0; 0)$.
4. Отмечаем вторую точку $(50; 1)$.
5. Проводим прямую линию через эти две точки.

Эта прямая и будет графиком функции $y = 0,02x$.

Ответ: График функции $y=0,02x$ – это прямая, проходящая через точки $(0;0)$ и $(50;1)$. Для наглядного построения рекомендуется выбрать разный масштаб для осей: например, по оси Ox взять единичный отрезок, равный 50, а по оси Oy – единичный отрезок той же длины, равный 1.

358. Какое расстояние $y$ (в километрах) проедет велосипедист за $x$ ч, если будет двигаться равномерно со скоростью 15 км/ч? Постройте график зависимости $y$ от $x$ (масштаб по оси $x$: в 1 см — 15 км; по оси $y$: в 1 см — 1 ч). С помощью графика ответьте на вопросы:

a) какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин;

б) сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?

Зависимость расстояния $y$ (в километрах) от времени $x$ (в часах) при равномерном движении выражается формулой $y = v \cdot x$, где $v$ — скорость движения. По условию задачи скорость велосипедиста $v = 15$ км/ч. Следовательно, искомая зависимость имеет вид:

$y = 15x$

Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат. Для построения графика найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$ ч, то $y = 15 \cdot 0 = 0$ км. Первая точка — $(0; 0)$.
• Если $x = 2$ ч, то $y = 15 \cdot 2 = 30$ км. Вторая точка — $(2; 30)$.

Построим систему координат. В условии задачи, вероятно, перепутаны оси в описании масштаба. Так как $x$ — это время в часах, а $y$ — расстояние в километрах, корректный масштаб будет: по оси абсцисс (оси $x$) — время, по оси ординат (оси $y$) — расстояние. Таким образом, используем масштаб: по оси $x$: в 1 см — 1 час; по оси $y$: в 1 см — 15 км.

Отметив на координатной плоскости точки $(0; 0)$ и $(2; 30)$ и соединив их прямой, мы получим график зависимости $y$ от $x$. Теперь используем этот график для ответов на вопросы.

а) какой путь проедет велосипедист за 3 ч; за 3 ч 40 мин;

Чтобы найти путь по графику, нужно найти заданное время на оси $x$, провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси $y$.

• Для времени 3 ч: Находим на оси $x$ отметку 3. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $y$. Получаем значение $y = 45$. Таким образом, за 3 часа велосипедист проедет 45 км. Проверка расчетом: $y = 15 \cdot 3 = 45$ км.
• Для времени 3 ч 40 мин: Сначала переведем минуты в часы: 40 мин $= \frac{40}{60}$ ч $= \frac{2}{3}$ ч. Искомый момент времени $x = 3 \frac{2}{3}$ ч. Находим эту точку на оси $x$ (она находится на расстоянии $\frac{2}{3}$ отрезка между 3 и 4). Поднимаемся от этой точки до графика и затем движемся к оси $y$. Получаем значение $y = 55$. Таким образом, за 3 ч 40 мин велосипедист проедет 55 км. Проверка расчетом: $y = 15 \cdot (3 + \frac{2}{3}) = 15 \cdot \frac{11}{3} = 5 \cdot 11 = 55$ км.

Ответ: за 3 ч велосипедист проедет 45 км; за 3 ч 40 мин он проедет 55 км.

б) сколько времени затратит велосипедист на путь в 50 км?

Чтобы найти время по графику, нужно найти заданное расстояние на оси $y$, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить вертикальную линию на ось $x$.

• Находим на оси $y$ отметку 50 км. Движемся от нее вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $x$. Точка на оси $x$ будет соответствовать времени $x = \frac{50}{15} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ часа.
• Переведем дробную часть часа в минуты: $\frac{1}{3}$ ч $= \frac{1}{3} \cdot 60$ мин $= 20$ мин.

Таким образом, на путь в 50 км велосипедист затратит 3 часа 20 минут.

Ответ: на путь в 50 км велосипедист затратит 3 ч 20 мин.

359. Является ли линейной функция, заданная формулой:

а) $y = \frac{4x - 7}{2}$;

б) $y = 3(x + 8)$;

в) $y = x(6 - x)$;

г) $y = x(9 - x) + x^2$?

Линейной называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Чтобы определить, является ли заданная функция линейной, необходимо преобразовать ее формулу и проверить, можно ли ее привести к указанному виду.

а) Дана функция $y = \frac{4x - 7}{2}$.
Преобразуем выражение, разделив почленно числитель на знаменатель:
$y = \frac{4x}{2} - \frac{7}{2}$
$y = 2x - 3.5$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где коэффициент $k = 2$, а свободный член $b = -3.5$. Следовательно, функция является линейной.
Ответ: да, является.

б) Дана функция $y = 3(x + 8)$.
Преобразуем выражение, раскрыв скобки:
$y = 3 \cdot x + 3 \cdot 8$
$y = 3x + 24$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 3$ и $b = 24$. Следовательно, функция является линейной.
Ответ: да, является.

в) Дана функция $y = x(6 - x)$.
Преобразуем выражение, раскрыв скобки:
$y = x \cdot 6 - x \cdot x$
$y = 6x - x^2$
Полученная формула содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такую функцию нельзя представить в виде $y = kx + b$. Это квадратичная функция.
Ответ: нет, не является.

г) Дана функция $y = x(9 - x) + x^2$.
Преобразуем выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$y = 9 \cdot x - x \cdot x + x^2$
$y = 9x - x^2 + x^2$
$y = 9x$
Эта формула соответствует виду $y = kx + b$, где $k = 9$ и $b = 0$. Следовательно, функция является линейной (в данном случае это прямая пропорциональность).
Ответ: да, является.