Страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

334. Группа туристов отправилась со станции на турбазу. Первые 2 ч они шли со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$. Затем сделали привал на 1 ч. На оставшуюся часть пути они затратили полтора часа, проходя её со скоростью $6 \text{ км/ч}$. Постройте график движения туристов.

Для построения графика движения туристов необходимо определить координаты ключевых точек на плоскости, где по оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время в часах (ч), а по оси ординат (вертикальной) — расстояние в километрах (км).

Движение можно разбить на три этапа.

1. Первый этап: движение

Туристы шли 2 часа со скоростью 4,5 км/ч. Найдем расстояние, которое они прошли за это время, используя формулу $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

$S_1 = 4,5 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 9 \text{ км}.$

Таким образом, первая часть графика — это отрезок, соединяющий начальную точку (0 ч, 0 км) и точку, соответствующую концу первого этапа (2 ч, 9 км).

Ключевые точки: (0; 0) и (2; 9).

2. Второй этап: привал

Туристы сделали привал на 1 час. Во время привала их скорость была равна нулю, то есть расстояние от станции не менялось.

Привал начался через 2 часа после старта и длился 1 час, то есть закончился через $2 + 1 = 3$ часа после старта. Расстояние от станции оставалось равным 9 км.

Вторая часть графика — это горизонтальный отрезок, соединяющий точку (2; 9) и точку (3; 9).

3. Третий этап: движение

На оставшуюся часть пути туристы потратили полтора часа (1,5 ч), двигаясь со скоростью 6 км/ч. Найдем расстояние, пройденное на этом этапе.

$S_2 = 6 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 9 \text{ км}.$

Этот этап начался в момент времени 3 ч, когда туристы были на расстоянии 9 км от станции. Он закончился через 1,5 часа, то есть в момент времени $3 + 1,5 = 4,5$ ч. Общее расстояние от станции стало $9 \text{ км} + 9 \text{ км} = 18 \text{ км}.$

Третья часть графика — это отрезок, соединяющий точку (3; 9) и конечную точку (4,5; 18).

Построение графика

Итак, мы имеем четыре ключевые точки для построения графика движения:

• Начало пути: (0; 0)
• Конец первого этапа: (2; 9)
• Конец привала: (3; 9)
• Конец пути (прибытие на турбазу): (4.5; 18)

График движения туристов представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую эти точки.

Ответ:

График движения туристов представляет собой ломаную линию в системе координат, где по оси Ox отложено время $t$ (в часах), а по оси Oy — расстояние $S$ (в километрах). Ломаная состоит из трех отрезков и соединяет последовательно точки с координатами (0; 0), (2; 9), (3; 9) и (4.5; 18).

337. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья — 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовила вторая бригада. Исходя из условий задачи, выразим количество деталей для каждой бригады через $x$:

• Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше второй, то есть $x - 10$ деталей.
• Сумма деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе, составляет: $(x - 10) + x = 2x - 10$.
• Третья бригада изготовила 30% от этого числа, то есть $0.3 \cdot (2x - 10)$ деталей.

Общее количество изготовленных деталей — 65. Составим уравнение, сложив количество деталей каждой бригады:

$(x - 10) + x + 0.3 \cdot (2x - 10) = 65$

Решим полученное уравнение, последовательно упрощая его:

$2x - 10 + 0.6x - 3 = 65$

$2.6x - 13 = 65$

$2.6x = 65 + 13$

$2.6x = 78$

$x = \frac{78}{2.6}$

$x = 30$

Таким образом, мы нашли, что вторая бригада изготовила 30 деталей. Теперь определим количество деталей для остальных бригад.

Первая бригада

Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая:

$30 - 10 = 20$ (деталей).

Ответ: 20 деталей.

Вторая бригада

Количество деталей, изготовленных второй бригадой, соответствует найденному значению $x$:

$x = 30$ (деталей).

Ответ: 30 деталей.

Третья бригада

Третья бригада изготовила 30% от общего числа деталей, изготовленных первой и второй бригадами вместе:

$0.3 \cdot (20 + 30) = 0.3 \cdot 50 = 15$ (деталей).

Ответ: 15 деталей.

Проверка: сложим количество деталей, изготовленных каждой бригадой: $20 + 30 + 15 = 65$. Результат совпадает с общим количеством деталей, указанным в условии задачи.

335. (Для работы в парах.) На рисунке 44 изображены графики движения двух машин, следующих из города А в город В, расстояние между которыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопросы:

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

б) какая машина начала своё движение раньше;

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Рис. 44

s, км

t, ч

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

Чтобы определить время в пути для каждой машины, необходимо найти на графике время начала и время окончания движения. Путь из города А в город В составляет 200 км.

Первая машина (график I): Движение начинается в точке с координатами $(0; 0)$, то есть в начальный момент времени $t = 0$ ч. Машина прибывает в город В (проезжает 200 км), согласно графику, в момент времени $t = 3$ ч. Следовательно, время в пути для первой машины: $t_1 = 3 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.

Вторая машина (график II): Движение начинается в точке с координатами $(1; 0)$, то есть в момент времени $t = 1$ ч. Машина прибывает в город В, согласно графику, в момент времени $t = 2,5$ ч. Следовательно, время в пути для второй машины: $t_2 = 2,5 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 1,5 \text{ ч}$.

Ответ: первая машина была в пути 3 часа; вторая машина была в пути 1,5 часа.

б) какая машина начала своё движение раньше;

Для ответа на этот вопрос сравним время начала движения каждой машины. Первая машина (график I) начинает движение при $t = 0$ ч. Вторая машина (график II) начинает движение при $t = 1$ ч. Поскольку $0 \text{ ч} < 1 \text{ ч}$, первая машина начала движение раньше. Разница во времени старта составляет $1 - 0 = 1$ час.

Ответ: первая машина начала своё движение раньше.

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

Скорость при равномерном движении находится по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденный путь, а $t$ — время в пути. Обе машины проехали путь $S = 200$ км.

Скорость первой машины (график I): Путь $S = 200$ км, время в пути $t_1 = 3$ ч (из пункта а). $v_1 = \frac{200 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 66\frac{2}{3}$ км/ч.

Скорость второй машины (график II): Путь $S = 200$ км, время в пути $t_2 = 1,5$ ч (из пункта а). $v_2 = \frac{200 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{200}{\frac{3}{2}} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость первой машины — $66\frac{2}{3}$ км/ч; скорость второй машины — $133\frac{1}{3}$ км/ч.

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Чтобы определить, какая машина прибыла раньше, нужно сравнить их время прибытия в город В. Это моменты времени, когда на графиках значение расстояния $s$ становится равным 200 км.

Первая машина (график I) прибыла в город В в момент времени $t = 3$ ч. Вторая машина (график II) прибыла в город В в момент времени $t = 2,5$ ч. Так как $2,5 \text{ ч} < 3 \text{ ч}$, вторая машина прибыла в город В раньше. Она прибыла на $3 - 2,5 = 0,5$ часа (то есть на 30 минут) раньше первой.

Ответ: вторая машина прибыла в город В раньше.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

Точка пересечения графиков движения в координатах «время-расстояние» $(t, s)$ обозначает момент времени и место, в котором объекты встретились. То есть в этот момент времени они находились на одинаковом расстоянии от начальной точки.

В данном случае, точка пересечения показывает, когда вторая, более быстрая машина, догнала первую. До этого момента первая машина была впереди, а после — вторая машина ее обогнала.

Найдем координаты точки пересечения аналитически. Составим уравнения движения для каждой машины, где $s$ — расстояние от города А, $t$ — время от начала отсчета ($t=0$).

Уравнение движения первой машины: $s = v_1 t = \frac{200}{3}t$.

Уравнение движения второй машины (которая начала движение в $t=1$): $s = v_2 (t - 1) = \frac{400}{3}(t - 1)$.

В точке пересечения их координаты $(t, s)$ равны, поэтому приравняем правые части уравнений: $\frac{200}{3}t = \frac{400}{3}(t - 1)$ $200t = 400(t - 1)$ $t = 2(t - 1)$ $t = 2t - 2$ $t = 2$ ч.

Теперь найдем расстояние $s$, подставив $t=2$ в уравнение для первой машины: $s = \frac{200}{3} \times 2 = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ км.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2; 133\frac{1}{3})$.

Ответ: Точка пересечения графиков означает, что в этот момент времени машины встретились. Это произошло через 2 часа после выезда первой машины на расстоянии $133\frac{1}{3}$ км от города А. В этот момент вторая машина догнала первую.

338. Запишите в виде выражения сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно:

а) $n$;

б) $n - 1$;

в) $n + 4$. Упростите записанное выражение.

Задача состоит в том, чтобы для каждого случая определить три последовательных натуральных числа и найти их сумму, а затем упростить полученное выражение. Последовательные натуральные числа отличаются друг от друга на 1. Если меньшее число обозначить как $x$, то следующие два будут $x+1$ и $x+2$.

а) Если меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n$, то следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$.
Сумма этих трёх чисел записывается в виде выражения: $n + (n+1) + (n+2)$.
Теперь упростим это выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $n + n + 1 + n + 2 = (n + n + n) + (1 + 2) = 3n + 3$.
Ответ: $3n + 3$.

б) Если меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n-1$, то следующие два числа будут $(n-1)+1=n$ и $(n-1)+2=n+1$.
Сумма этих трёх чисел записывается в виде выражения: $(n-1) + n + (n+1)$.
Упростим это выражение: $n - 1 + n + n + 1 = (n + n + n) + (-1 + 1) = 3n$.
Ответ: $3n$.

в) Если меньшее из трёх последовательных натуральных чисел равно $n+4$, то следующие два числа будут $(n+4)+1=n+5$ и $(n+4)+2=n+6$.
Сумма этих трёх чисел записывается в виде выражения: $(n+4) + (n+5) + (n+6)$.
Упростим это выражение: $n + 4 + n + 5 + n + 6 = (n + n + n) + (4 + 5 + 6) = 3n + 15$.
Ответ: $3n + 15$.

336. Решите уравнение:

a) $3(0.9x - 1) - (x + 0.6) = -0.2;$

б) $7 - (3.1 - 0.1y) = -0.2y.$

а) $3(0,9x - 1) - (x + 0,6) = -0,2$
1. Сначала раскроем скобки. Умножим 3 на каждый член в первой скобке. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при ее раскрытии знаки всех членов внутри меняются на противоположные.
$3 \cdot 0,9x - 3 \cdot 1 - x - 0,6 = -0,2$
$2,7x - 3 - x - 0,6 = -0,2$
2. Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, то есть сложим отдельно члены с переменной $x$ и отдельно числа.
$(2,7x - x) + (-3 - 0,6) = -0,2$
$1,7x - 3,6 = -0,2$
3. Перенесем свободный член $-3,6$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на плюс.
$1,7x = -0,2 + 3,6$
$1,7x = 3,4$
4. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $1,7$.
$x = \frac{3,4}{1,7}$
$x = 2$
Ответ: 2

б) $7 - (3,1 - 0,1y) = -0,2y$
1. Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$7 - 3,1 + 0,1y = -0,2y$
2. Упростим левую часть, выполнив вычитание чисел.
$3,9 + 0,1y = -0,2y$
3. Теперь сгруппируем все члены с переменной $y$ в одной части уравнения. Перенесем $0,1y$ из левой части в правую со знаком минус.
$3,9 = -0,2y - 0,1y$
$3,9 = -0,3y$
4. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на $-0,3$.
$y = \frac{3,9}{-0,3}$
$y = -\frac{39}{3}$
$y = -13$
Ответ: -13

2. Что является графиком прямой пропорциональности? Как построить график прямой пропорциональности?

Что является графиком прямой пропорциональности?

Прямой пропорциональностью называют функциональную зависимость, которую можно задать формулой $y = kx$. В этой формуле $x$ — это независимая переменная (аргумент), а $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю ($k \neq 0$).

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, которая всегда проходит через начало координат, то есть точку с координатами $(0, 0)$. Это свойство следует напрямую из формулы: при $x=0$ значение функции $y$ всегда будет равно нулю ($y = k \cdot 0 = 0$), независимо от значения коэффициента $k$.

Расположение графика на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

- Если $k > 0$, то прямая расположена в I и III координатных четвертях (угол наклона к положительному направлению оси Ox — острый).

- Если $k < 0$, то прямая расположена во II и IV координатных четвертях (угол наклона к положительному направлению оси Ox — тупой).

Ответ: Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат.

Как построить график прямой пропорциональности?

Поскольку график прямой пропорциональности $y=kx$ — это прямая, для его построения достаточно найти координаты любых двух точек, принадлежащих этой прямой, а затем провести через них линию.

Алгоритм построения очень прост:

1. Найти первую точку. Одна точка всегда известна — это начало координат, точка с координатами $(0, 0)$.

2. Найти вторую точку. Для этого нужно выбрать любое удобное, не равное нулю, значение $x$ и подставить его в уравнение, чтобы вычислить соответствующее значение $y$. Например, можно взять $x=1$, тогда $y$ будет равен $k$. Таким образом, мы получим вторую точку с координатами $(1, k)$.

3. Построить прямую. Отметить на координатной плоскости найденные две точки (например, $(0, 0)$ и $(1, k)$) и провести через них прямую линию с помощью линейки.

Пример: Построим график функции $y=2x$.

- Первая точка: $(0, 0)$.

- Для второй точки возьмем $x=3$. Тогда $y = 2 \cdot 3 = 6$. Получаем вторую точку $(3, 6)$.

- Отмечаем на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(3, 6)$ и проводим через них прямую. Это и будет график функции $y=2x$.

Ответ: Чтобы построить график прямой пропорциональности, нужно найти две точки. Одна из них — это всегда начало координат $(0, 0)$. Вторую точку находят, подставляя в формулу любое значение $x \neq 0$ и вычисляя соответствующий $y$. Затем через эти две точки проводят прямую линию.

3. Как расположен в координатной плоскости график функции $y = kx$ при $k > 0$ и при $k < 0$?

Функция вида $y = kx$ называется прямой пропорциональностью. Её графиком является прямая линия, которая всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, так как при $x=0$, значение $y = k \cdot 0 = 0$ для любого коэффициента $k$. Расположение этой прямой на координатной плоскости зависит от знака углового коэффициента $k$.

при $k > 0$

Если коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$), то значения $x$ и $y$ будут иметь одинаковые знаки.
- Когда $x > 0$ (положительные значения по оси абсцисс), то и $y = kx$ будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух положительных чисел положительно. Точки с координатами $(x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$, находятся в I (первой) координатной четверти.
- Когда $x < 0$ (отрицательные значения по оси абсцисс), то и $y = kx$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение положительного числа $k$ на отрицательное $x$ отрицательно. Точки с координатами $(x, y)$, где $x < 0$ и $y < 0$, находятся в III (третьей) координатной четверти.
Таким образом, прямая "поднимается" слева направо и образует острый угол с положительным направлением оси Ox.

Ответ: При $k > 0$ график функции $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

при $k < 0$

Если коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$), то значения $x$ и $y$ будут иметь противоположные знаки.
- Когда $x > 0$ (положительные значения по оси абсцисс), то $y = kx$ будет меньше нуля ($y < 0$), так как произведение отрицательного числа $k$ на положительное $x$ отрицательно. Точки с координатами $(x, y)$, где $x > 0$ и $y < 0$, находятся в IV (четвертой) координатной четверти.
- Когда $x < 0$ (отрицательные значения по оси абсцисс), то $y = kx$ будет больше нуля ($y > 0$), так как произведение двух отрицательных чисел положительно. Точки с координатами $(x, y)$, где $x < 0$ и $y > 0$, находятся во II (второй) координатной четверти.
Таким образом, прямая "опускается" слева направо и образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.

Ответ: При $k < 0$ график функции $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

1. Сформулируйте определение прямой пропорциональности.

1. Прямой пропорциональностью называется такая зависимость между двумя величинами, при которой увеличение или уменьшение одной из них в несколько раз приводит к увеличению или уменьшению другой величины во столько же раз. Иными словами, отношение этих величин остается постоянным.

Математически прямая пропорциональность выражается формулой:

$y = kx$

В этой формуле $y$ и $x$ — это переменные величины, а $k$ — это постоянное, не равное нулю число, которое называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, какое значение принимает $y$ при $x=1$.

Из формулы следует, что для всех пар соответствующих значений $x$ и $y$ (кроме $x=0$), их отношение постоянно и равно коэффициенту пропорциональности:

$\frac{y}{x} = k$

Пример: Зависимость пройденного пути ($s$) от времени движения ($t$) при постоянной скорости ($v$). Формула для пути: $s = v \cdot t$. В данном случае путь $s$ прямо пропорционален времени $t$. Если увеличить время движения в 2 раза, то и пройденный путь увеличится в 2 раза. Коэффициентом пропорциональности является скорость $v$.

Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, которая проходит через начало координат (точку с координатами (0, 0)).

Ответ: Прямая пропорциональность — это функциональная зависимость между двумя величинами ($y$ и $x$), при которой одна величина получается умножением другой на некоторое постоянное число $k$ (не равное нулю), называемое коэффициентом пропорциональности. Эта зависимость описывается формулой $y = kx$.