Номер 335, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 335, страница 83.

Условие.

335. (Для работы в парах.) На рисунке 44 изображены графики движения двух машин, следующих из города А в город В, расстояние между которыми 200 км. С помощью этих графиков ответьте на вопросы:

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

б) какая машина начала своё движение раньше;

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Рис. 44

s, км

t, ч

1) Распределите, кто отвечает на вопросы а), в), а кто — на вопросы б), г), и ответьте на них.

2) Проверьте друг у друга правильность ответов на поставленные вопросы.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) какое время была в пути первая машина; вторая машина;

Чтобы определить время в пути для каждой машины, необходимо найти на графике время начала и время окончания движения. Путь из города А в город В составляет 200 км.

Первая машина (график I): Движение начинается в точке с координатами $(0; 0)$, то есть в начальный момент времени $t = 0$ ч. Машина прибывает в город В (проезжает 200 км), согласно графику, в момент времени $t = 3$ ч. Следовательно, время в пути для первой машины: $t_1 = 3 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.

Вторая машина (график II): Движение начинается в точке с координатами $(1; 0)$, то есть в момент времени $t = 1$ ч. Машина прибывает в город В, согласно графику, в момент времени $t = 2,5$ ч. Следовательно, время в пути для второй машины: $t_2 = 2,5 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 1,5 \text{ ч}$.

Ответ: первая машина была в пути 3 часа; вторая машина была в пути 1,5 часа.

б) какая машина начала своё движение раньше;

Для ответа на этот вопрос сравним время начала движения каждой машины. Первая машина (график I) начинает движение при $t = 0$ ч. Вторая машина (график II) начинает движение при $t = 1$ ч. Поскольку $0 \text{ ч} < 1 \text{ ч}$, первая машина начала движение раньше. Разница во времени старта составляет $1 - 0 = 1$ час.

Ответ: первая машина начала своё движение раньше.

в) с какой скоростью двигалась каждая машина;

Скорость при равномерном движении находится по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденный путь, а $t$ — время в пути. Обе машины проехали путь $S = 200$ км.

Скорость первой машины (график I): Путь $S = 200$ км, время в пути $t_1 = 3$ ч (из пункта а). $v_1 = \frac{200 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 66\frac{2}{3}$ км/ч.

Скорость второй машины (график II): Путь $S = 200$ км, время в пути $t_2 = 1,5$ ч (из пункта а). $v_2 = \frac{200 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{200}{\frac{3}{2}} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость первой машины — $66\frac{2}{3}$ км/ч; скорость второй машины — $133\frac{1}{3}$ км/ч.

г) какая машина прибыла в город В раньше?

Чтобы определить, какая машина прибыла раньше, нужно сравнить их время прибытия в город В. Это моменты времени, когда на графиках значение расстояния $s$ становится равным 200 км.

Первая машина (график I) прибыла в город В в момент времени $t = 3$ ч. Вторая машина (график II) прибыла в город В в момент времени $t = 2,5$ ч. Так как $2,5 \text{ ч} < 3 \text{ ч}$, вторая машина прибыла в город В раньше. Она прибыла на $3 - 2,5 = 0,5$ часа (то есть на 30 минут) раньше первой.

Ответ: вторая машина прибыла в город В раньше.

3) Обсудите, что означает точка пересечения графиков.

Точка пересечения графиков движения в координатах «время-расстояние» $(t, s)$ обозначает момент времени и место, в котором объекты встретились. То есть в этот момент времени они находились на одинаковом расстоянии от начальной точки.

В данном случае, точка пересечения показывает, когда вторая, более быстрая машина, догнала первую. До этого момента первая машина была впереди, а после — вторая машина ее обогнала.

Найдем координаты точки пересечения аналитически. Составим уравнения движения для каждой машины, где $s$ — расстояние от города А, $t$ — время от начала отсчета ($t=0$).

Уравнение движения первой машины: $s = v_1 t = \frac{200}{3}t$.

Уравнение движения второй машины (которая начала движение в $t=1$): $s = v_2 (t - 1) = \frac{400}{3}(t - 1)$.

В точке пересечения их координаты $(t, s)$ равны, поэтому приравняем правые части уравнений: $\frac{200}{3}t = \frac{400}{3}(t - 1)$ $200t = 400(t - 1)$ $t = 2(t - 1)$ $t = 2t - 2$ $t = 2$ ч.

Теперь найдем расстояние $s$, подставив $t=2$ в уравнение для первой машины: $s = \frac{200}{3} \times 2 = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$ км.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2; 133\frac{1}{3})$.

Ответ: Точка пересечения графиков означает, что в этот момент времени машины встретились. Это произошло через 2 часа после выезда первой машины на расстоянии $133\frac{1}{3}$ км от города А. В этот момент вторая машина догнала первую.