Номер 333, страница 82 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 333, страница 82.

Условие.

333. В бак налили воду, температура которой $10^\circ C$, и нагревали её до $100^\circ C$, причём через каждую минуту температура повышалась на $1.5^\circ C$. Задайте формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах). Постройте график этой зависимости. Узнайте по графику:

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

б) через какое время вода нагрелась до $85^\circ C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи сначала зададим формулой зависимость температуры воды $T$ (в градусах Цельсия) от времени нагревания $t$ (в минутах).

Начальная температура воды в момент времени $t = 0$ составляет 10 °C. Это начальное значение нашей функции.

По условию, каждую минуту температура повышается на 1,5 °C. Это постоянная скорость нагрева, которая является коэффициентом при переменной $t$.

Таким образом, зависимость является линейной и описывается уравнением вида $T = kt + b$, где $b$ — начальная температура, а $k$ — скорость изменения температуры.

Подставляя наши значения, получаем формулу:
$T(t) = 1.5t + 10$

Эта формула справедлива для промежутка времени, в течение которого вода нагревается от 10 °C до 100 °C. Найдем, когда температура достигнет 100 °C:
$100 = 1.5t + 10$
$1.5t = 90$
$t = \frac{90}{1.5} = 60$ минут.
Следовательно, область определения для нашей функции: $0 \le t \le 60$.

Теперь построим график этой зависимости. Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

• При $t = 0$ мин, $T = 1.5 \cdot 0 + 10 = 10$ °C. Точка (0; 10).
• При $t = 60$ мин, $T = 1.5 \cdot 60 + 10 = 90 + 10 = 100$ °C. Точка (60; 100).

График зависимости температуры от времени (красными пунктирными линиями показаны решения для пунктов а) и б)):

а) какую температуру имела вода через 5 мин; через 10 мин после начала нагревания;

Чтобы найти температуру по графику, находим на горизонтальной оси времени ($t$) значения 5 и 10. От этих точек поднимаем перпендикуляры до пересечения с графиком. Затем из точек пересечения проводим перпендикуляры к вертикальной оси температуры ($T$) и считываем значения.
- При $t = 5$ мин, температура $T \approx 17.5$ °C.
- При $t = 10$ мин, температура $T = 25$ °C.
Проверим вычисления по формуле:
$T(5) = 1.5 \cdot 5 + 10 = 7.5 + 10 = 17.5$ °C.
$T(10) = 1.5 \cdot 10 + 10 = 15 + 10 = 25$ °C.

Ответ: через 5 мин температура воды была 17,5 °C; через 10 мин — 25 °C.

б) через какое время вода нагрелась до 85 °C.

Чтобы найти время по графику, находим на вертикальной оси температуры ($T$) значение 85. От этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком. Затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось времени ($t$) и считываем значение.
По графику видно, что при $T = 85$ °C, время $t = 50$ мин.
Проверим вычисления по формуле:
$85 = 1.5t + 10$
$1.5t = 85 - 10$
$1.5t = 75$
$t = \frac{75}{1.5} = 50$ мин.

Ответ: вода нагрелась до 85 °C через 50 минут.