Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

351. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{7}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{8}{x^2 + 4}$?

а)

Дана функция $y = \frac{7}{x^2 - 4}$.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. Следовательно, мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 4$ не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x^2 - 4 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$
$x_1 = 2$ или $x_2 = -2$
Таким образом, при $x = 2$ и $x = -2$ знаменатель обращается в ноль, и функция не определена. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2. Это можно записать в виде объединения интервалов: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 2$, или $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{8}{x^2 + 4}$.
Так же, как и в предыдущем пункте, функция представляет собой дробь, и её область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен $x^2 + 4$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Квадрат любого действительного числа $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 4, то результат всегда будет положительным:
$x^2 + 4 \ge 0 + 4$
$x^2 + 4 \ge 4$
Так как знаменатель $x^2 + 4$ всегда больше или равен 4, он никогда не может быть равен нулю ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, нет таких значений $x$, которые нужно исключить из области определения.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел. Это можно записать в виде интервала $(-\infty; +\infty)$ или с помощью символа $\mathbb{R}$.

Ответ: все действительные числа, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

354. На рисунке 55 чёрной линией изображён график первой функции, а цветной — график второй функции. При каких значениях аргумента значение первой функции:

а) равно значению второй;

б) больше значения второй;

в) меньше значения второй?

Рис. 55

На графике изображены две функции. График первой функции — это чёрная парабола, ветви которой направлены вниз. График второй функции — это цветная (красная) парабола, ветви которой направлены вверх. Для решения задачи необходимо определить по графику, при каких значениях аргумента $x$ выполняется указанное соотношение между значениями функций $y$.

а) равно значению второй;
Значения функций равны в точках, где их графики пересекаются. Найдём абсциссы (координаты $x$) этих точек пересечения.
По графику видно, что линии пересекаются в двух точках:
1. Точка с координатами $(-1; 1)$.
2. Точка с координатами $(3; 1)$.
Следовательно, значения функций равны при значениях аргумента $x=-1$ и $x=3$.
Ответ: при $x = -1$ и $x = 3$.

б) больше значения второй;
Значение первой функции больше значения второй, когда её график (чёрная линия) расположен выше графика второй функции (цветная линия).
Из графика видно, что чёрная парабола находится выше цветной на интервале между точками их пересечения. Абсциссы точек пересечения равны -1 и 3.
Таким образом, это условие выполняется для всех $x$, которые строго больше -1 и строго меньше 3.
Ответ: при $-1 < x < 3$.

в) меньше значения второй?
Значение первой функции меньше значения второй, когда её график (чёрная линия) расположен ниже графика второй функции (цветная линия).
Это происходит на двух участках оси $x$:
1. Слева от первой точки пересечения, то есть при $x < -1$.
2. Справа от второй точки пересечения, то есть при $x > 3$.
Эти два промежутка можно записать как объединение: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.
Ответ: при $x < -1$ или $x > 3$.

352. Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на $x\%$. Составьте формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$, где $y$ — число изготовленных бригадой деталей. Найдите по формуле:

а) значение $y$, если $x = 10$;

б) значение $x$, при котором $y = 180$.

Сначала составим формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$.

План составляет 150 деталей. Это 100%.
Бригада перевыполнила план на $x\%$. Количество деталей, изготовленных сверх плана, составляет $x\%$ от 150.

Чтобы найти $x\%$ от числа 150, нужно умножить 150 на дробь $\frac{x}{100}$: $150 \cdot \frac{x}{100} = 1.5x$

Общее число изготовленных деталей $y$ — это сумма плановых деталей и деталей, изготовленных сверх плана: $y = 150 + 1.5x$

Это и есть искомая формула. Теперь используем ее для решения подпунктов.

а) значение y, если x = 10;

Подставим в формулу $y = 150 + 1.5x$ значение $x = 10$: $y = 150 + 1.5 \cdot 10$

$y = 150 + 15$

$y = 165$

Если бригада перевыполнила план на 10%, она изготовила 165 деталей.

Ответ: 165.

б) значение x, при котором y = 180.

Подставим в формулу $y = 150 + 1.5x$ значение $y = 180$ и решим уравнение относительно $x$: $180 = 150 + 1.5x$

Перенесем 150 в левую часть уравнения: $180 - 150 = 1.5x$

$30 = 1.5x$

Найдем $x$, разделив 30 на 1.5: $x = \frac{30}{1.5}$

$x = 20$

Если бригада изготовила 180 деталей, она перевыполнила план на 20%.

Ответ: 20.

353. Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоугольник со сторонами 8 см и x см (рис. 54). Обозначив площадь оставшейся части квадрата (в квадратных сантиметрах) буквой y, выразите зависимость y от x формулой: $y = 100 - 8x$. Найдите:

а) значение y, если x = 2,5; 4;

б) значение x, если y = 20; 36.

Рис. 54

Для того чтобы выразить зависимость площади оставшейся части квадрата $y$ от стороны вырезанного прямоугольника $x$, необходимо найти разность между площадью всего квадрата и площадью вырезанного прямоугольника.

1. Площадь исходного квадрата со стороной 10 см равна:
$S_{квадрата} = 10 \cdot 10 = 100$ см$^2$.

2. Площадь вырезанного прямоугольника со сторонами 8 см и $x$ см равна:
$S_{прямоугольника} = 8 \cdot x = 8x$ см$^2$.

3. Площадь оставшейся части $y$ является разностью этих площадей. Таким образом, формула зависимости $y$ от $x$:
$y = S_{квадрата} - S_{прямоугольника} = 100 - 8x$.

а) значение y, если x = 2,5; 4
Подставим заданные значения $x$ в полученную формулу $y = 100 - 8x$.
Если $x = 2,5$, то:
$y = 100 - 8 \cdot 2,5 = 100 - 20 = 80$.
Если $x = 4$, то:
$y = 100 - 8 \cdot 4 = 100 - 32 = 68$.
Ответ: при $x = 2,5$ значение $y = 80$; при $x = 4$ значение $y = 68$.

б) значение x, если y = 20; 36
Для нахождения $x$ выразим его из формулы $y = 100 - 8x$:
$8x = 100 - y$
$x = \frac{100 - y}{8}$
Теперь подставим заданные значения $y$ в эту формулу.
Если $y = 20$, то:
$x = \frac{100 - 20}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
Если $y = 36$, то:
$x = \frac{100 - 36}{8} = \frac{64}{8} = 8$.
Ответ: при $y = 20$ значение $x = 10$; при $y = 36$ значение $x = 8$.