Номер 351, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 5. Дополнительные упражнения к главе II. Глава 2. Функции - номер 351, страница 89.

Условие.

351. Какова область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{7}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{8}{x^2 + 4}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дана функция $y = \frac{7}{x^2 - 4}$.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь. Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю. Следовательно, мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель $x^2 - 4$ не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:
$x^2 - 4 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$
$x_1 = 2$ или $x_2 = -2$
Таким образом, при $x = 2$ и $x = -2$ знаменатель обращается в ноль, и функция не определена. Область определения функции — это все действительные числа, кроме -2 и 2. Это можно записать в виде объединения интервалов: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: все действительные числа, кроме $x = -2$ и $x = 2$, или $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \frac{8}{x^2 + 4}$.
Так же, как и в предыдущем пункте, функция представляет собой дробь, и её область определения — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Знаменатель равен $x^2 + 4$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Квадрат любого действительного числа $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 4, то результат всегда будет положительным:
$x^2 + 4 \ge 0 + 4$
$x^2 + 4 \ge 4$
Так как знаменатель $x^2 + 4$ всегда больше или равен 4, он никогда не может быть равен нулю ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, нет таких значений $x$, которые нужно исключить из области определения.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел. Это можно записать в виде интервала $(-\infty; +\infty)$ или с помощью символа $\mathbb{R}$.

Ответ: все действительные числа, или $x \in (-\infty; +\infty)$.