Номер 344, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 344, страница 87.

Условие.

344. На рисунке 51 изображён график функции, область определения которой есть множество значений $x$, таких, что $-2 \le x \le 6$. Задайте эту функцию аналитически.

Рис. 51

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы задать данную функцию аналитически, необходимо описать каждый из ее линейных участков отдельной формулой, указав для каждой формулы соответствующий промежуток по оси $x$. График состоит из трех таких участков, и область определения функции — это множество значений $x$ таких, что $-2 \le x \le 6$.

1. Участок на промежутке $-2 \le x \le 1$

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Сначала найдем угловой коэффициент $k$ (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох): $k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Теперь, зная коэффициент $k_1=1$, подставим координаты одной из точек, например $(1, 2)$, в уравнение $y = 1 \cdot x + b$ для нахождения коэффициента $b$: $2 = 1 \cdot 1 + b$, откуда $b = 1$. Таким образом, для $-2 \le x \le 1$ функция задается уравнением $y = x + 1$.

2. Участок на промежутке $1 < x \le 3$

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(1, 2)$ и $(3, 0)$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Подставим коэффициент $k_2=-1$ и координаты точки $(3, 0)$ в уравнение $y = -1 \cdot x + b$: $0 = -1 \cdot 3 + b$, откуда $b = 3$. Таким образом, для $1 < x \le 3$ функция задается уравнением $y = -x + 3$.

3. Участок на промежутке $3 < x \le 6$

Этот участок является отрезком прямой, который проходит через точки с координатами $(3, 0)$ и $(6, 3)$. Найдем угловой коэффициент $k$: $k_3 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 0}{6 - 3} = \frac{3}{3} = 1$. Подставим коэффициент $k_3=1$ и координаты точки $(3, 0)$ в уравнение $y = 1 \cdot x + b$: $0 = 1 \cdot 3 + b$, откуда $b = -3$. Таким образом, для $3 < x \le 6$ функция задается уравнением $y = x - 3$.

Объединяя все три полученных уравнения, запишем аналитическое выражение для функции на всей области определения $-2 \le x \le 6$.

Ответ: $y = \begin{cases} x+1, & \text{если } -2 \le x \le 1 \\ -x+3, & \text{если } 1 < x \le 3 \\ x-3, & \text{если } 3 < x \le 6 \end{cases}$