Номер 341, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 341, страница 87.

Условие.

341. Постройте график функции:

а) $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 3 - x, & \text{если } 1 \le x \le 4 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Данная функция является кусочно-линейной и задается формулой $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < -1 \\ x, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$. Ее график будет состоять из двух частей, определенных на разных промежутках.

1. Рассмотрим первую часть функции: $y = -x$ при условии $x < -1$.

Графиком этой функции является прямая линия. Поскольку нас интересует только промежуток $x < -1$, мы построим луч. Для этого найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: найдем значение функции в точке $x = -1$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), эта точка не будет принадлежать графику, и мы обозначим ее как "выколотую" (пустой кружок). При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Координаты выколотой точки: $(-1, 1)$.
• Контрольная точка: выберем любое значение $x$, удовлетворяющее условию $x < -1$, например, $x = -2$. Тогда $y = -(-2) = 2$. Координаты точки: $(-2, 2)$.

Таким образом, первая часть графика — это луч, который начинается в выколотой точке $(-1, 1)$ и проходит через точку $(-2, 2)$, уходя влево и вверх.

2. Рассмотрим вторую часть функции: $y = x$ при условии $x \ge -1$.

Это также линейная функция, и ее график — луч. Найдем его начальную точку и еще одну точку для построения:

• Граничная точка: при $x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$), эта точка принадлежит графику, и мы обозначим ее как "закрашенную" (сплошной кружок). При $x = -1$, $y = -1$. Координаты начальной точки луча: $(-1, -1)$.
• Контрольная точка: выберем любое значение $x > -1$, например, $x = 1$. Тогда $y = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.

Вторая часть графика — это луч, который начинается в закрашенной точке $(-1, -1)$ и проходит через точку $(1, 1)$, уходя вправо и вверх.

Объединив обе части на координатной плоскости, мы получим полный график функции. В точке $x = -1$ функция имеет скачок (разрыв первого рода).

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — луч прямой $y = -x$, начинающийся в выколотой точке $(-1, 1)$ и направленный влево и вверх. Второй — луч прямой $y = x$, начинающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$ и направленный вправо и вверх.

б)

Дана кусочно-линейная функция $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } -1 \le x < 1 \\ 3-x, & \text{если } 1 \le x \le 4 \end{cases}$. Ее график состоит из двух отрезков.

1. Построим график функции $y = 2x$ на отрезке $[-1, 1)$.

Это отрезок прямой линии. Для его построения найдем координаты его конечных точек:

• Левый конец: при $x = -1$. Точка принадлежит промежутку ($-1 \le x$), поэтому она будет закрашенной. $y = 2(-1) = -2$. Координаты: $(-1, -2)$.
• Правый конец: при $x = 1$. Точка не принадлежит промежутку ($x < 1$), поэтому она будет выколотой. $y = 2(1) = 2$. Координаты: $(1, 2)$.

Первая часть графика — это отрезок, соединяющий закрашенную точку $(-1, -2)$ и выколотую точку $(1, 2)$.

2. Построим график функции $y = 3-x$ на отрезке $[1, 4]$.

Это также отрезок прямой. Найдем координаты его конечных точек:

• Левый конец: при $x = 1$. Точка принадлежит промежутку ($1 \le x$), поэтому она будет закрашенной. $y = 3-1 = 2$. Координаты: $(1, 2)$.
• Правый конец: при $x = 4$. Точка принадлежит промежутку ($x \le 4$), поэтому она также будет закрашенной. $y = 3-4 = -1$. Координаты: $(4, -1)$.

Вторая часть графика — это отрезок, соединяющий закрашенные точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$.

При объединении двух частей на одной плоскости выколотая точка $(1, 2)$ из первой части "заполняется" начальной точкой второй части. В результате получается непрерывная ломаная линия.

Ответ: График функции — это ломаная линия, состоящая из двух отрезков. Первый отрезок соединяет точки $(-1, -2)$ и $(1, 2)$. Второй отрезок соединяет точки $(1, 2)$ и $(4, -1)$.