Номер 340, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 340, страница 87.

Условие.

340. Из бака ёмкостью 20 л, заполненного водой (рис. 50), через открытый кран равномерно вытекает вода со скоростью 2 л в минуту. Через кран может вытечь 0,9 всего объёма воды в баке, так как кран расположен выше дна бака. Объём воды $V$ (в литрах) в баке зависит от времени $x$ (в минутах), когда кран открыт. Задайте зависимость $V$ от $x$ аналитически, если известно, что кран был открыт в течение 12 мин.

Рис. 50

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение

Для того чтобы задать аналитическую зависимость объёма воды $V$ в баке от времени $x$, необходимо рассмотреть все этапы процесса, описанного в задаче.

1. Начальные данные и ограничения.

Начальный объём воды в баке: $V_0 = 20$ литров.

Скорость вытекания воды: $v = 2$ л/мин.

Из-за расположения крана вытечь может только 0,9 от общего объёма. Рассчитаем, какой объём воды может вытечь и какой останется в баке.

Максимальный объём, который может вытечь: $V_{слив} = 20 \cdot 0,9 = 18$ литров.

Минимальный объём, который всегда остаётся в баке: $V_{мин} = 20 - V_{слив} = 20 - 18 = 2$ литра.

2. Определение времени вытекания.

Вода будет вытекать до тех пор, пока её объём не достигнет минимального значения в 2 литра. Найдём, сколько времени для этого потребуется:

Время $x_{стоп} = \frac{V_{слив}}{v} = \frac{18}{2} = 9$ минут.

Это означает, что вода активно вытекает из крана только в течение первых 9 минут. После 9 минут, несмотря на то что кран открыт (как указано в условии про 12 минут), вода больше не вытекает.

3. Построение аналитической зависимости.

Зависимость $V(x)$ является кусочно-заданной функцией, состоящей из двух частей:

- При $0 \le x \le 9$ (пока вода вытекает), объём в баке уменьшается. Он равен начальному объёму минус объём вытекшей воды:

$V(x) = 20 - 2x$

- При $x > 9$ (когда уровень воды опустился до крана), объём воды в баке остаётся постоянным и равным минимальному значению:

$V(x) = 2$

Объединив эти два случая, получаем полную аналитическую зависимость $V$ от $x$.

Ответ: Зависимость объёма воды $V$ (в литрах) от времени $x$ (в минутах) задаётся аналитически следующей формулой:$V(x) = \begin{cases} 20 - 2x, & \text{если } 0 \le x \le 9 \\ 2, & \text{если } x > 9 \end{cases}$