Номер 339, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 339, страница 87.

Условие.

339. Функция задана графиком (рис. 49). Задайте эту функцию аналитически, т. е. одной или несколькими формулами.

Аналитическое представление функции:

$ f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{при } x \le 0 \\ 1 & \text{при } 0 < x < 1 \\ x & \text{при } x \ge 1 \end{cases} $

Рис. 49

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы задать функцию, изображенную на графике, аналитически, необходимо описать ее поведение с помощью формул. Так как график состоит из трех прямолинейных участков, функцию можно задать кусочно, то есть несколькими формулами для разных интервалов. Также возможно найти одну общую формулу.

Способ 1: Задание функции несколькими формулами (кусочно)

Найдем уравнение для каждого из трех линейных участков графика.

1. Участок при $x \le 0$
Это часть прямой, которая проходит через точки с координатами $(-1, 2)$ и $(0, 1)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.
Угловой коэффициент (наклон) $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 2}{0 - (-1)} = \frac{-1}{1} = -1$.
Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Из точки $(0, 1)$ видно, что $b=1$.
Следовательно, для $x \le 0$ формула функции: $y = -x + 1$.

2. Участок при $0 < x < 1$
На этом интервале график является горизонтальным отрезком. Для всех точек этого отрезка координата $y$ постоянна и равна $1$.
Следовательно, для $0 < x < 1$ формула функции: $y = 1$.

3. Участок при $x \ge 1$
Это часть прямой, проходящей через точки $(1, 1)$ и $(2, 2)$.
Найдем ее угловой коэффициент $k$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с известным наклоном: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим точку $(1, 1)$ и $k=1$: $y - 1 = 1 \cdot (x - 1)$, откуда получаем $y = x$.
Следовательно, для $x \ge 1$ формула функции: $y = x$.

Объединив все три случая, получаем аналитическое представление функции в виде системы.

Ответ: $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x \le 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Способ 2: Задание функции одной формулой

Данную функцию можно также описать одной формулой, используя функцию модуля (абсолютной величины). Изломы графика находятся в точках $x=0$ и $x=1$, поэтому будем искать формулу в виде $y = a|x| + b|x-1| + c$.

Коэффициенты $a$ и $b$ определяют наклоны участков графика.
- При $x < 0$ наклон графика равен $-1$. Наклон для нашей формулы равен $-a-b$. Получаем уравнение: $-a-b = -1 \implies a+b=1$.
- При $0 < x < 1$ наклон графика равен $0$. Наклон для нашей формулы равен $a-b$. Получаем уравнение: $a-b=0 \implies a=b$.
- При $x > 1$ наклон графика равен $1$. Наклон для нашей формулы равен $a+b$, что совпадает с первым случаем: $a+b=1$.

Решая систему $\begin{cases} a+b=1 \\ a=b \end{cases}$, находим, что $2a=1$, то есть $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}$.

Формула приобретает вид $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}|x-1| + c$. Для нахождения $c$ подставим в нее координаты любой точки с графика, например, $(0, 1)$:
$1 = \frac{1}{2}|0| + \frac{1}{2}|0-1| + c \implies 1 = 0 + \frac{1}{2}(1) + c \implies c = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили единую формулу для всей функции.

Ответ: $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}|x-1| + \frac{1}{2}$