Номер 343, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 343, страница 87.

Условие.

343. Функция задана двумя формулами:

$y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0, \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Задайте эту функцию одной формулой, используя знак модуля.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы задать данную кусочно-заданную функцию одной формулой, необходимо использовать определение модуля (абсолютной величины) числа.

Исходная функция задана так:

$y = \begin{cases} -x + 2, & \text{если } x < 0 \\ x + 2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Вспомним определение модуля числа $x$:

$|x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Сравнивая определение модуля с заданной функцией, мы видим, что выражения для $y$ в обоих случаях состоят из двух слагаемых. Второе слагаемое, $+2$, является постоянным и не зависит от знака $x$.

Первое слагаемое в выражении для $y$ полностью совпадает с определением модуля:

• при $x < 0$ оно равно $-x$;
• при $x \ge 0$ оно равно $x$.

Таким образом, мы можем заменить кусочно-заданную часть функции $\begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$ на ее эквивалент, то есть на $|x|$.

Добавив к этому постоянное слагаемое $+2$, мы получаем единую формулу для всей функции:

$y = |x| + 2$

Проверим правильность полученной формулы:

• Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Наша формула дает $y = -x + 2$. Это совпадает с первым условием исходной функции.
• Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Наша формула дает $y = x + 2$. Это совпадает со вторым условием исходной функции.

Следовательно, формула верна.

Ответ: $y = |x| + 2$