Номер 342, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Задание функции несколькими формулами. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 342, страница 87.

Условие.

342. Постройте график функции:

а) $y = 0.25|x| + 1$

б) $y = |x| + 0.5x$

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $y = 0,25|x| + 1$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль по определению.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = 0,25x + 1$.
Это линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

- при $x=0$, $y = 0,25 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- при $x=4$, $y = 0,25 \cdot 4 + 1 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = 0,25(-x) + 1 = -0,25x + 1$.
Это также линейная функция. Для построения найдем две точки:

- точка $(0, 1)$ является вершиной, из которой выходит луч.

- при $x=-4$, $y = -0,25 \cdot (-4) + 1 = 2$. Точка $(-4, 2)$.

График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$. График симметричен относительно оси OY.

Ответ: График функции — это график $y=|x|$, сжатый к оси OX (ветви стали более пологими, с коэффициентами $0,25$ и $-0,25$) и смещенный на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина графика находится в точке $(0, 1)$, ветви направлены вверх.

б) $y = |x| + 0,5x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + 0,5x = 1,5x$.
Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки:

- при $x=0$, $y = 1,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x=2$, $y = 1,5 \cdot 2 = 3$. Точка $(2, 3)$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x + 0,5x = -0,5x$.
Это также прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки:

- точка $(0, 0)$ является общей точкой излома.

- при $x=-2$, $y = -0,5 \cdot (-2) = 1$. Точка $(-2, 1)$.

Соединяем точки для каждого случая и получаем график.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$. Для $x \ge 0$ это луч прямой $y = 1,5x$, а для $x < 0$ это луч прямой $y = -0,5x$.

в) $y = \frac{|x|}{x}(x - 2)$

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Точка с абсциссой $x=0$ будет выколота на графике.

Упростим выражение $\frac{|x|}{x}$, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Тогда $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$.
Функция принимает вид: $y = 1 \cdot (x - 2) = x - 2$.
Это часть прямой $y=x-2$ для всех $x > 0$. Найдем точки:

- при $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x=4$, $y = 4 - 2 = 2$. Точка $(4, 2)$.

- Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^+$. $y \to 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$ выколота.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$.
Функция принимает вид: $y = -1 \cdot (x - 2) = -x + 2$.
Это часть прямой $y=-x+2$ для всех $x < 0$. Найдем точки:

- при $x=-2$, $y = -(-2) + 2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

- Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^-$. $y \to -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$ выколота.

Ответ: График функции состоит из двух лучей. Первый — это луч прямой $y = x - 2$, начинающийся в выколотой точке $(0, -2)$ и определенный для $x > 0$. Второй — это луч прямой $y = -x + 2$, начинающийся в выколотой точке $(0, 2)$ и определенный для $x < 0$.