Страница 88 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

345. Изменение температуры $T$ (в градусах Цельсия) воды в баке описано с помощью формул:

$T = \begin{cases} 4t + 20, & \text{если } 0 \le t < 20, \\ 100, & \text{если } 20 \le t \le 30, \\ -\frac{1}{3}t + 110, & \text{если } 30 < t \le 90. \end{cases}$

Найдите значение $T$ при $t = 10; 20; 30; 45; 60; 90$. Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда $0 \le t < 20$? когда $20 \le t \le 30$? когда $30 < t \le 90$?

Найдите значение T при t = 10; 20; 30; 45; 60; 90.

Для нахождения значения температуры $T$ при заданных значениях времени $t$, необходимо выбрать соответствующую формулу из трех, в зависимости от того, в какой временной интервал попадает значение $t$.

• При $t = 10$:
  Значение $t=10$ попадает в интервал $0 \le t < 20$. Используем формулу $T = 4t + 20$.
  $T(10) = 4 \cdot 10 + 20 = 40 + 20 = 60$ °C.

• При $t = 20$:
  Значение $t=20$ попадает в интервал $20 \le t \le 30$. Используем формулу $T = 100$.
  $T(20) = 100$ °C.

• При $t = 30$:
  Значение $t=30$ попадает в интервал $20 \le t \le 30$. Используем формулу $T = 100$.
  $T(30) = 100$ °C.

• При $t = 45$:
  Значение $t=45$ попадает в интервал $30 < t \le 90$. Используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.
  $T(45) = -\frac{1}{3} \cdot 45 + 110 = -15 + 110 = 95$ °C.

• При $t = 60$:
  Значение $t=60$ попадает в интервал $30 < t \le 90$. Используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.
  $T(60) = -\frac{1}{3} \cdot 60 + 110 = -20 + 110 = 90$ °C.

• При $t = 90$:
  Значение $t=90$ попадает в интервал $30 < t \le 90$. Используем формулу $T = -\frac{1}{3}t + 110$.
  $T(90) = -\frac{1}{3} \cdot 90 + 110 = -30 + 110 = 80$ °C.

Ответ: При $t=10, T=60$ °C; при $t=20, T=100$ °C; при $t=30, T=100$ °C; при $t=45, T=95$ °C; при $t=60, T=90$ °C; при $t=90, T=80$ °C.

Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс, когда $0 \le t < 20$?

На временном интервале $0 \le t < 20$ температура описывается формулой $T = 4t + 20$. Это линейная функция с положительным коэффициентом, что означает рост температуры. В начальный момент времени ($t=0$) температура воды была $T = 4 \cdot 0 + 20 = 20$ °C. К моменту времени $t=20$ температура достигает $T = 4 \cdot 20 + 20 = 100$ °C. Таким образом, на этом этапе происходит равномерный нагрев воды от 20 °C до температуры кипения 100 °C.

Ответ: Происходит нагрев воды.

когда $20 \le t \le 30$?

На временном интервале $20 \le t \le 30$ температура воды постоянна и равна $T = 100$ °C. Это температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении. Поддержание постоянной температуры на уровне 100 °C, в то время как к воде продолжает подводиться энергия (или она достигла точки кипения), соответствует процессу кипения. Вся подводимая энергия тратится на парообразование, а не на увеличение температуры.

Ответ: Вода кипит.

когда $30 < t \le 90$?

На временном интервале $30 < t \le 90$ температура описывается формулой $T = -\frac{1}{3}t + 110$. Это линейная функция с отрицательным коэффициентом, что означает, что температура со временем уменьшается. В момент времени, близкий к $t=30$, температура была $100$ °C, а к моменту $t=90$ она снижается до $T = -\frac{1}{3} \cdot 90 + 110 = 80$ °C. Этот процесс описывает остывание воды после того, как нагреватель был выключен.

Ответ: Происходит остывание воды.

346. Пешеход, отправившийся из дома на прогулку, оказался через $t$ ч на расстоянии $s$ км от дома. Зависимость $s$ от $t$ задана тремя формулами:

$s = \begin{cases} 6t, \text{ если } 0 \le t < \frac{5}{6}, \\ 5, \text{ если } \frac{5}{6} \le t \le 1, \\ -5t+10, \text{ если } 1 < t \le 2. \end{cases}$

Найдите расстояние $s$ при $t$, равном

$0; \frac{1}{2}; \frac{5}{6}; 1; 1,5; 2.$

Чтобы найти расстояние s для каждого заданного значения времени t, нужно определить, в какой из трех временных интервалов попадает значение t, и затем применить соответствующую этому интервалу формулу.

0

Значение t = 0 удовлетворяет условию первого интервала: $0 \le t < \frac{5}{6}$. Следовательно, для расчета расстояния используем формулу $s = 6t$.

$s = 6 \cdot 0 = 0$ км.

Ответ: 0 км.

$\frac{1}{2}$

Значение $t = \frac{1}{2}$ также принадлежит первому интервалу, так как $0 \le \frac{1}{2} < \frac{5}{6}$ (поскольку $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$). Используем ту же формулу $s = 6t$.

$s = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ км.

Ответ: 3 км.

$\frac{5}{6}$

Значение $t = \frac{5}{6}$ удовлетворяет условию второго интервала: $\frac{5}{6} \le t \le 1$. Для этого интервала расстояние постоянно и равно 5 км.

$s = 5$ км.

Ответ: 5 км.

1

Значение t = 1 также принадлежит второму интервалу: $\frac{5}{6} \le t \le 1$. Расстояние здесь также постоянно.

$s = 5$ км.

Ответ: 5 км.

1,5

Значение t = 1,5 удовлетворяет условию третьего интервала: $1 < t \le 2$. Для расчета расстояния используем формулу $s = -5t + 10$.

$s = -5 \cdot 1,5 + 10 = -7,5 + 10 = 2,5$ км.

Ответ: 2,5 км.

2

Значение t = 2 принадлежит третьему интервалу: $1 < t \le 2$. Используем формулу $s = -5t + 10$.

$s = -5 \cdot 2 + 10 = -10 + 10 = 0$ км.

Ответ: 0 км.

347. На рисунке 52 изображён график движения автомобиля из пункта А в пункт В. Задайте эту функцию аналитически. С какой скоростью двигался автомобиль до остановки? С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?

Рис. 52

Задайте эту функцию аналитически.

График, представленный на рисунке, описывает зависимость пройденного расстояния $s$ (в км) от времени $t$ (в ч). Это кусочно-линейная функция, состоящая из трех участков. Для каждого участка найдем свое аналитическое выражение.

1. Первый участок (движение до остановки): $0 \le t \le 1.5$.
График представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки с координатами $(0, 0)$ и $(1.5, 90)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $s = kt$. Угловой коэффициент $k$ (скорость) равен: $k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 - 0}{1.5 - 0} = 60$. Следовательно, на этом участке функция задается формулой $s(t) = 60t$.

2. Второй участок (остановка): $1.5 < t \le 2$.
График представляет собой горизонтальный отрезок на уровне $s = 90$. Это означает, что расстояние не изменялось, и автомобиль стоял на месте. На этом участке функция постоянна: $s(t) = 90$.

3. Третий участок (движение после остановки): $2 < t \le 4$.
График представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки с координатами $(2, 90)$ и $(4, 180)$. Уравнение прямой имеет вид $s = kt + b$. Сначала найдем угловой коэффициент $k$: $k = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{180 - 90}{4 - 2} = \frac{90}{2} = 45$. Теперь уравнение имеет вид $s = 45t + b$. Чтобы найти $b$, подставим координаты одной из точек, например $(2, 90)$: $90 = 45 \cdot 2 + b$ $90 = 90 + b$ $b = 0$ Следовательно, на этом участке функция задается формулой $s(t) = 45t$.

Объединив все три части, получаем аналитическое представление функции.

Ответ: $s(t) = \begin{cases} 60t, & \text{если } 0 \le t \le 1.5 \\ 90, & \text{если } 1.5 < t \le 2 \\ 45t, & \text{если } 2 < t \le 4 \end{cases}$

С какой скоростью двигался автомобиль до остановки?

Движение до остановки соответствует первому участку графика при $t \in [0, 1.5]$. Скорость движения на этом участке постоянна и равна тангенсу угла наклона графика к оси времени (угловому коэффициенту). Рассчитаем скорость как отношение пройденного пути ко времени: $v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{90 \text{ км} - 0 \text{ км}}{1.5 \text{ ч} - 0 \text{ ч}} = \frac{90}{1.5} = 60 \text{ км/ч}$.

Ответ: 60 км/ч.

С какой скоростью двигался автомобиль после остановки?

Движение после остановки соответствует третьему участку графика при $t \in (2, 4]$. Скорость на этом участке также постоянна. Рассчитаем скорость по данным этого участка: $v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{180 \text{ км} - 90 \text{ км}}{4 \text{ ч} - 2 \text{ ч}} = \frac{90 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 45 \text{ км/ч}$.

Ответ: 45 км/ч.

348. Масса одного кубического сантиметра ртути равна 13,6 г. Масса $V$ см$^3$ ртути равна $m$ г. Задайте формулой зависимость:

а) $m$ от $V$;

б) $V$ от $m$.

В условии задачи указано, что масса 1 см³ ртути равна 13,6 г. Эта величина является плотностью ртути, которую принято обозначать греческой буквой $\rho$ (ро). Таким образом, $\rho = 13,6$ г/см³.

Масса ($m$), объем ($V$) и плотность ($\rho$) вещества связаны между собой физической формулой: $m = \rho \cdot V$.

а) m от V

Чтобы задать формулой зависимость массы $m$ от объема $V$, необходимо использовать основную формулу $m = \rho \cdot V$ и подставить в нее известное значение плотности ртути. Масса вещества прямо пропорциональна его объему с коэффициентом пропорциональности, равным плотности.
$m = 13,6 \cdot V$
Эта формула выражает зависимость массы ртути от её объёма.
Ответ: $m = 13.6V$

б) V от m

Для того чтобы выразить зависимость объема $V$ от массы $m$, необходимо преобразовать формулу, полученную в пункте а): $m = 13.6V$.
Чтобы найти $V$, разделим обе части уравнения на 13,6:
$\frac{m}{13,6} = \frac{13.6V}{13,6}$
В результате получаем:
$V = \frac{m}{13,6}$
Эта формула выражает зависимость объёма ртути от её массы.
Ответ: $V = \frac{m}{13.6}$

349. При делении числа y на число x в частном получается 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию y от x. Какова область определения этой функции? Найдите две пары соответственных значений x и y.

Задайте формулой функцию y от x.

Согласно определению деления с остатком, делимое (y) равно произведению делителя (x) на неполное частное (5) плюс остаток (10). Это можно выразить следующей формулой:

$y = x \cdot 5 + 10$

Таким образом, зависимость y от x задается функцией:

Ответ: $y = 5x + 10$.

Какова область определения этой функции?

При делении с остатком делитель всегда должен быть строго больше остатка. В нашем случае делитель — это x, а остаток равен 10. Следовательно, должно выполняться условие:

$x > 10$

Так как операция деления с остатком в школьном курсе обычно рассматривается для натуральных (или целых) чисел, то x должен быть целым числом, большим 10.

Ответ: Область определения функции — это множество всех целых чисел $x$, таких что $x > 10$.

Найдите две пары соответственных значений x и y.

Чтобы найти пары значений (x; y), нужно выбрать два любых значения x из области определения (т.е. целые числа, большие 10) и подставить их в формулу $y = 5x + 10$.

1. Пусть $x = 11$. Тогда y будет равен:

$y = 5 \cdot 11 + 10 = 55 + 10 = 65$

Таким образом, первая пара значений — (11; 65).

2. Пусть $x = 15$. Тогда y будет равен:

$y = 5 \cdot 15 + 10 = 75 + 10 = 85$

Таким образом, вторая пара значений — (15; 85).

Ответ: Две пары соответственных значений: (11; 65) и (15; 85).

350. Турист вышел с турбазы А в направлении железнодорожной станции В. На рисунке 53 дан график зависимости пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните:

а) какое время затратил турист на путь из А в В;

б) с какой средней скоростью двигался турист;

в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал;

г) сколько километров турист прошёл за первый час движения и сколько за последний;

д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км.

График: ось ординат - путь $s, \text{км}$; ось абсцисс - время $t, \text{ч}$.

Рис. 53

а) какое время затратил турист на путь из A в B;

Чтобы определить общее время в пути, нужно найти конечную точку на оси времени (ось t), до которой доходит график. Начальная точка соответствует $t = 0$ ч. Конечная точка на графике соответствует значению $t = 3.75$ ч. Таким образом, общее время в пути составляет 3.75 часа. Переведем дробную часть в минуты: $0.75 \text{ ч} = 0.75 \times 60 \text{ мин} = 45 \text{ мин}$. Следовательно, турист затратил на весь путь 3 часа 45 минут.

Ответ: 3 часа 45 минут.

б) с какой средней скоростью двигался турист;

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — все время движения. Из графика находим, что весь путь $S_{общ}$ равен 16 км (конечное значение по оси s). Общее время $t_{общ}$ мы нашли в предыдущем пункте — 3.75 ч.$v_{ср} = \frac{16 \text{ км}}{3.75 \text{ ч}} = \frac{16 \text{ км}}{15/4 \text{ ч}} = \frac{16 \times 4}{15} \text{ км/ч} = \frac{64}{15} \text{ км/ч} \approx 4.27 \text{ км/ч}$.

Ответ: $\frac{64}{15}$ км/ч (или примерно 4.27 км/ч).

в) сколько минут он затратил на первый привал и сколько затратил на второй привал;

Привал на графике зависимости пути от времени изображается горизонтальным участком, так как время идет, а расстояние не меняется.Первый привал начался в момент времени $t = 1$ ч и закончился в $t = 1.5$ ч. Его длительность составила $1.5 - 1 = 0.5$ ч. В минутах это $0.5 \times 60 = 30$ минут.Второй привал начался в $t = 2.5$ ч и закончился в $t = 2.75$ ч. Его длительность составила $2.75 - 2.5 = 0.25$ ч. В минутах это $0.25 \times 60 = 15$ минут.

Ответ: 30 минут на первый привал и 15 минут на второй привал.

г) сколько километров турист прошёл за первый час движения и сколько за последний;

За первый час (от $t=0$ до $t=1$ ч) турист прошел расстояние, равное значению $s$ при $t=1$ ч. По графику это 6 км.Последний час движения. Весь путь занял 3.75 ч. Последний час — это интервал времени с $t = 2.75$ ч до $t = 3.75$ ч. В момент $t = 2.75$ ч турист находился на отметке 11 км. В момент $t = 3.75$ ч он находился на отметке 16 км. Значит, за последний час он прошел $16 - 11 = 5$ км.

Ответ: 6 км за первый час и 5 км за последний час.

д) какое время было затрачено туристом на первые 8 км и какое на последующие 8 км.

Чтобы найти время, затраченное на первые 8 км, найдем на оси $s$ значение 8 км и посмотрим, какому времени оно соответствует на оси $t$. По графику, расстояние в 8 км было пройдено за $t = 1.75$ ч. В часах и минутах это 1 час и $0.75 \times 60 = 45$ минут.Последующие 8 км — это путь с 8 км до 16 км. Время, в которое турист достиг отметки 8 км, — 1.75 ч. Время, в которое он достиг отметки 16 км, — 3.75 ч. Время, затраченное на этот участок, равно $3.75 \text{ ч} - 1.75 \text{ ч} = 2$ ч.

Ответ: 1 час 45 минут на первые 8 км и 2 часа на последующие 8 км.