Страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

329. Один из графиков на рисунке 40 является графиком функции $y = \frac{1}{3}x - 1$. Укажите его.

1.

2.

3.

4.

Рис. 40

Чтобы определить, какой из графиков на рисунке соответствует функции $y = \frac{1}{3}x - 1$, необходимо проанализировать характеристики этой линейной функции и сравнить их с представленными графиками.

1. Анализ углового коэффициента.

Функция $y = \frac{1}{3}x - 1$ имеет вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Так как $k > 0$, функция является возрастающей. Это означает, что ее график должен быть направлен вверх при движении слева направо. Этому условию не удовлетворяют графики под номерами 2 и 4, так как на них изображены убывающие функции. Следовательно, правильный ответ — это либо график 1, либо график 3.

2. Анализ точки пересечения с осью OY.

Свободный член $b = -1$ показывает, что график функции пересекает ось ординат (ось $y$) в точке с координатами $(0, -1)$. Проверим оставшиеся графики. Мы видим, что и график 1, и график 3 проходят через точку $(0, -1)$.

3. Нахождение второй точки для проверки.

Чтобы однозначно определить правильный график, найдем еще одну точку, принадлежащую функции. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$), для этого приравняем $y$ к нулю:

$0 = \frac{1}{3}x - 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$1 = \frac{1}{3}x$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3$

Таким образом, график функции должен проходить через точку с координатами $(3, 0)$.

4. Выбор правильного графика.

Теперь сравним полученный результат с графиками 1 и 3. Нам нужен график, который проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 0)$.

При внимательном рассмотрении графика под номером 1 видно, что он проходит через обе эти точки. Следовательно, он и является графиком функции $y = \frac{1}{3}x - 1$.

Ответ: 1

330. (Для работы в парах.) На рисунке 41 изображён график зависимости массы бидона с жидкостью от объёма жидкости. Найдите по графику:

а) массу пустого бидона;

б) массу бидона с одним литром жидкости;

в) массу одного литра жидкости;

г) объём жидкости в бидоне, если общая масса бидона с жидкостью равна 3 кг.

1) Выполните каждый задания а) и б).

2) Сравните полученные ответы. Исправьте ошибки, если они допущены.

3) Обсудите, как с помощью графика можно выполнить задания в) и г).

Рис. 41

а) массу пустого бидона;

Масса пустого бидона — это масса системы, когда объём жидкости в нём равен нулю ($V = 0 \text{ л}$). Чтобы найти её по графику, нужно посмотреть, какое значение принимает масса $m$ при $V=0$. Найдём на горизонтальной оси (ось объёма $V$) точку 0. График пересекает вертикальную ось (ось массы $m$) в этой точке на отметке 1. Следовательно, масса пустого бидона равна 1 кг.

Ответ: 1 кг.

б) массу бидона с одним литром жидкости;

Чтобы определить массу бидона с 1 литром жидкости, найдём на горизонтальной оси значение объёма $V = 1 \text{ л}$. От этой точки поднимемся вертикально до пересечения с линией графика. Затем от точки пересечения проведём горизонтальную линию к вертикальной оси массы. Эта линия указывает на значение $m = 2 \text{ кг}$.

Ответ: 2 кг.

в) массу одного литра жидкости;

Масса одного литра жидкости — это разность между массой бидона с 1 литром жидкости и массой пустого бидона. Воспользуемся результатами, полученными в пунктах а) и б):

$m_{\text{жидкости}} = m_{\text{бидон с 1 л}} - m_{\text{пустой бидон}} = 2 \text{ кг} - 1 \text{ кг} = 1 \text{ кг}$.

Таким образом, масса одного литра жидкости составляет 1 кг. Это также соответствует плотности жидкости, выраженной в кг/л.

Ответ: 1 кг.

г) объём жидкости в бидоне, если общая масса бидона с жидкостью равна 3 кг;

Для решения этой задачи нужно выполнить обратную операцию. Найдём на вертикальной оси (оси массы) значение $m = 3 \text{ кг}$. От этой точки проведём горизонтальную линию вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось (ось объёма). Этот перпендикуляр укажет на значение $V = 2 \text{ л}$.

Ответ: 2 л.

3) Обсудите, как с помощью графика можно выполнить задания в) и г).

Выполнение задания в) (найти массу одного литра жидкости):

Масса одного литра жидкости — это величина, на которую увеличивается общая масса при добавлении одного литра жидкости. На графике это соответствует изменению значения по вертикальной оси ($\Delta m$) при изменении значения по горизонтальной оси на 1 единицу ($\Delta V = 1 \text{ л}$). Можно взять две любые удобные точки на графике, например, точку для пустого бидона $(0 \text{ л}; 1 \text{ кг})$ и точку для бидона с 1 литром жидкости $(1 \text{ л}; 2 \text{ кг})$. Разница масс будет равна $2 \text{ кг} - 1 \text{ кг} = 1 \text{ кг}$. Эта величина и есть масса одного литра жидкости. Фактически, мы находим угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой, который в данном случае равен $\frac{\Delta m}{\Delta V}$.

Выполнение задания г) (найти объём при массе 3 кг):

Это обратная задача. Если в первых заданиях мы по известному объёму находили массу, то здесь по известной массе нужно найти объём. Для этого на оси масс ($m$) находим заданное значение 3 кг. Затем проводим от этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком зависимости. После этого из точки пересечения опускаем вертикальную линию (перпендикуляр) на ось объёмов ($V$). Координата точки, в которую попадёт перпендикуляр на оси объёмов, и будет искомым значением. В данном случае это 2 л.