Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

456. Записан ли в стандартном виде одночлен:

а) $6xy$;

б) $-2aba$;

в) $0,5m \cdot 2n$;

г) $-bca$;

д) $-x^2y^3$;

е) $5p^3p^2$?

Стандартный вид одночлена — это форма записи, при которой на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним — произведения степеней различных переменных, расположенных, как правило, в алфавитном порядке. Каждая переменная в записи должна встречаться только один раз.

а) Одночлен $6xy$ записан в стандартном виде. Он состоит из коэффициента $6$ и переменных $x$ и $y$, каждая из которых встречается один раз и они расположены в алфавитном порядке.
Ответ: да.

б) Одночлен $-2aba$ не записан в стандартном виде, поскольку переменная $a$ в нем встречается дважды. Для приведения к стандартному виду нужно сгруппировать и перемножить одинаковые переменные: $-2aba = -2(a \cdot a)b = -2a^2b$.
Ответ: нет.

в) Одночлен $0,5m \cdot 2n$ не записан в стандартном виде, так как он содержит два числовых множителя ($0,5$ и $2$). Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо перемножить коэффициенты: $0,5 \cdot 2 = 1$. Стандартный вид этого одночлена: $1mn$ или просто $mn$.
Ответ: нет.

г) Одночлен $-bca$ не записан в стандартном виде, потому что переменные в нем ($b, c, a$) расположены не в алфавитном порядке. В стандартном виде переменные принято записывать по алфавиту: $-abc$.
Ответ: нет.

д) Одночлен $-x^2y^3$ записан в стандартном виде. Коэффициент (в данном случае $-1$) находится на первом месте, за ним следуют степени различных переменных ($x$ и $y$) в алфавитном порядке.
Ответ: да.

е) Одночлен $5p^3p^2$ не записан в стандартном виде, так как переменная $p$ встречается дважды. Для приведения к стандартному виду следует применить свойство степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $5p^3p^2 = 5p^{3+2} = 5p^5$.
Ответ: нет.

459. Найдите значение одночлена:

a) $-0.125y^4$ при $y=-2$;

б) $12x^2y$ при $x=-0.3, y=\frac{1}{6}$.

а) Чтобы найти значение одночлена $-0,125y^4$ при $y = -2$, необходимо подставить данное значение переменной $y$ в выражение.

1. Подставим $y = -2$ в одночлен:

$-0,125 \cdot (-2)^4$

2. Сначала выполним возведение в степень. Так как степень четная (4), результат будет положительным:

$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$

3. Теперь умножим полученное значение на коэффициент $-0,125$. Для удобства вычислений можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

$-0,125 \cdot 16 = -\frac{1}{8} \cdot 16 = -\frac{16}{8} = -2$

Ответ: $-2$

б) Чтобы найти значение одночлена $12x^2y$ при $x = -0,3$ и $y = \frac{1}{6}$, подставим значения переменных в выражение.

1. Подставим $x = -0,3$ и $y = \frac{1}{6}$ в одночлен:

$12 \cdot (-0,3)^2 \cdot \frac{1}{6}$

2. Сначала возведем в квадрат значение $x$:

$(-0,3)^2 = 0,09$

3. Подставим результат обратно в выражение:

$12 \cdot 0,09 \cdot \frac{1}{6}$

4. Выполним умножение. Удобнее сначала перемножить крайние множители:

$(12 \cdot \frac{1}{6}) \cdot 0,09 = \frac{12}{6} \cdot 0,09 = 2 \cdot 0,09$

5. Завершим вычисление:

$2 \cdot 0,09 = 0,18$

Ответ: $0,18$

462. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, ширина которого $a$ см, длина в 2 раза больше ширины, а высота в 2 раза больше длины?

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда $V$ используется формула, которая связывает его три измерения: длину $l$, ширину $w$ и высоту $h$. Формула имеет вид: $V = l \cdot w \cdot h$.
Исходя из условий задачи, определим каждое из измерений:
1. Ширина параллелепипеда задана и равна $w = a$ см.
2. Длина в 2 раза больше ширины, следовательно: $l = 2 \cdot w = 2a$ см.
3. Высота в 2 раза больше длины, следовательно: $h = 2 \cdot l = 2 \cdot (2a) = 4a$ см.
Теперь, зная все три измерения, мы можем вычислить объём, подставив полученные выражения в формулу:
$V = (2a) \cdot a \cdot (4a)$
Перемножим числовые коэффициенты и переменные:
$V = (2 \cdot 1 \cdot 4) \cdot (a \cdot a \cdot a) = 8a^3$
Объём измеряется в кубических сантиметрах.
Ответ: $8a^3 \text{ см}^3$.

457. Представьте одночлен в стандартном виде и назовите его коэффициент:

а) $8x^2x$;
б) $1,2abc \cdot 5a$;
в) $3xy(-1,7)y$;
г) $6c^2(-0,8)c$;
д) $\frac{2}{3}m^2n \cdot 4,5n^3$;
е) $2\frac{1}{3}a^2x\left(-\frac{3}{7}\right)a^3x^2$.

а) Чтобы привести одночлен $8x^2x$ к стандартному виду, необходимо выполнить умножение всех его числовых и буквенных множителей.
Числовой множитель равен 8.
Буквенные множители с одинаковым основанием $x$ перемножаются путем сложения их показателей степени: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$.
Таким образом, стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента и степеней переменных, записанных в алфавитном порядке. В данном случае это $8x^3$.
Коэффициентом одночлена, приведенного к стандартному виду, является его числовой множитель.
Ответ: Стандартный вид: $8x^3$; коэффициент: 8.

б) Рассмотрим одночлен $1,2abc \cdot 5a$.
Сначала перемножим числовые коэффициенты: $1,2 \cdot 5 = 6$.
Затем сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями: $a \cdot a = a^{1+1} = a^2$.
Переменные $b$ и $c$ встречаются только один раз.
Запишем результат в стандартном виде, поставив числовой коэффициент на первое место, а за ним переменные в алфавитном порядке: $6a^2bc$.
Ответ: Стандартный вид: $6a^2bc$; коэффициент: 6.

в) Рассмотрим одночлен $3xy(-1,7)y$.
Перемножим числовые множители: $3 \cdot (-1,7) = -5,1$.
Сгруппируем и перемножим переменные: $y \cdot y = y^{1+1} = y^2$. Переменная $x$ остается без изменений.
Запишем одночлен в стандартном виде: $-5,1xy^2$.
Ответ: Стандартный вид: $-5,1xy^2$; коэффициент: -5,1.

г) Рассмотрим одночлен $6c^2(-0,8)c$.
Перемножим числовые множители: $6 \cdot (-0,8) = -4,8$.
Перемножим переменные: $c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$.
Стандартный вид одночлена: $-4,8c^3$.
Ответ: Стандартный вид: $-4,8c^3$; коэффициент: -4,8.

д) Рассмотрим одночлен $\frac{2}{3}m^2n \cdot 4,5n^3$.
Перемножим числовые коэффициенты. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $4,5$ в виде обыкновенной: $4,5 = 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.
$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{18}{6} = 3$.
Теперь перемножим переменные: $n \cdot n^3 = n^{1+3} = n^4$. Переменная $m^2$ остается без изменений.
Запишем одночлен в стандартном виде: $3m^2n^4$.
Ответ: Стандартный вид: $3m^2n^4$; коэффициент: 3.

е) Рассмотрим одночлен $2\frac{1}{3}a^2x\left(-\frac{3}{7}\right)a^3x^2$.
Перемножим числовые коэффициенты. Сначала представим смешанное число $2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
$\frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 7} = -1$.
Теперь перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям:
$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.
$x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.
Запишем одночлен в стандартном виде: $-1a^5x^3$. Обычно коэффициент -1 не пишут, и выражение принимает вид $-a^5x^3$.
Ответ: Стандартный вид: $-a^5x^3$; коэффициент: -1.

460. Вычислите значение выражения:

а) $3.7m^2$ при $m = 0.4$;

б) $-3a^3b$ при $a = -0.1, b = 4.$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $3,7m^2$ при $m = 0,4$, необходимо подставить данное значение $m$ в выражение и выполнить арифметические операции в правильном порядке (сначала возведение в степень, затем умножение).

1. Подставляем значение $m = 0,4$ в выражение:
$3,7 \cdot (0,4)^2$

2. Сначала выполняем возведение в степень:
$(0,4)^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$

3. Теперь выполняем умножение:
$3,7 \cdot 0,16 = 0,592$

Ответ: 0,592

б)

Чтобы вычислить значение выражения $-3a^3b$ при $a = -0,1$ и $b = 4$, подставим значения переменных в выражение и выполним вычисления.

1. Подставляем $a = -0,1$ и $b = 4$ в выражение:
$-3 \cdot (-0,1)^3 \cdot 4$

2. Возводим $-0,1$ в третью степень. Поскольку степень нечетная, результат будет отрицательным:
$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$

3. Теперь перемножаем все числа:
$-3 \cdot (-0,001) \cdot 4$
Сначала умножим $-3$ на $-0,001$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$(-3) \cdot (-0,001) = 0,003$
Затем умножим результат на 4:
$0,003 \cdot 4 = 0,012$

Ответ: 0,012

455. Является ли одночленом выражение:

а) $3,4x^2y;$

б) $-0,7xy^2;$

в) $a(-0,8);$

г) $x^2 + x;$

д) $x^2x;$

е) $-\frac{3}{4}m^3nm^2;$

ж) $a - b;$

з) $2(x + y)^2;$

и) $-0,3xy^2;$

к) $c^{10};$

л) $-m;$

м) $0,6? $

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночленами также являются сами числа, переменные и их степени. Одночлен не должен содержать операций сложения или вычитания между несколькими такими произведениями.

Рассмотрим каждое выражение:

а) Выражение $3,4x^2y$ является произведением числа $3,4$ и переменных $x$ и $y$ в степенях. Согласно определению, это выражение является одночленом.

Ответ: да, является.

б) Выражение $-0,7xy^2$ является произведением числа $-0,7$ и переменных $x$ и $y$ в степенях. Это соответствует определению одночлена.

Ответ: да, является.

в) Выражение $a(-0,8)$ можно записать как $-0,8a$. Это произведение числа $-0,8$ и переменной $a$. Следовательно, это одночлен.

Ответ: да, является.

г) Выражение $x^2 + x$ представляет собой сумму двух одночленов: $x^2$ и $x$. Поскольку выражение содержит операцию сложения, оно не является одночленом. Это многочлен (в данном случае, двучлен).

Ответ: нет, не является.

д) Выражение $x^2x$ является произведением переменных. Его можно упростить: $x^2x = x^{2+1} = x^3$. Результат $x^3$ является одночленом.

Ответ: да, является.

е) Выражение $-\frac{3}{4}m^3nm^2$ можно упростить, перемножив переменные с одинаковым основанием: $-\frac{3}{4}m^{3+2}n = -\frac{3}{4}m^5n$. Полученное выражение является произведением числа и переменных в степенях, то есть одночленом.

Ответ: да, является.

ж) Выражение $a - b$ представляет собой разность двух переменных. Наличие операции вычитания означает, что это не одночлен. Это двучлен.

Ответ: нет, не является.

з) Выражение $2(x + y)^2$ содержит операцию сложения внутри скобок. Если раскрыть скобки, получится многочлен: $2(x^2 + 2xy + y^2) = 2x^2 + 4xy + 2y^2$. Таким образом, исходное выражение не является одночленом.

Ответ: нет, не является.

и) Выражение $-0,3xy^2$ является произведением числа $-0,3$ и переменных $x$ и $y$ в степенях. Это одночлен.

Ответ: да, является.

к) Выражение $c^{10}$ является переменной в натуральной степени, что по определению является одночленом.

Ответ: да, является.

л) Выражение $-m$ можно представить как произведение $-1 \cdot m$. Это одночлен.

Ответ: да, является.

м) Предполагая, что вопросительный знак — опечатка, выражение $0,6$ является числом. Любое число считается одночленом.

Ответ: да, является.

458. Приведите одночлен к стандартному виду:

а) $9yy^2y$;
б) $0,15pq \cdot 4pq^2$;
в) $-8ab(-2,5)b^2$;
г) $10a^2b^2(-1,2a^3)$;
д) $2m^3n \cdot 0,4mn$;
е) $-2x^3 \cdot 0,5xy^2$.

а) Чтобы привести одночлен $9yy^2y$ к стандартному виду, нужно перемножить все числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Числовой множитель здесь один — 9. Переменная 'y' встречается трижды. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$9yy^2y = 9 \cdot (y^1 \cdot y^2 \cdot y^1) = 9 \cdot y^{1+2+1} = 9y^4$.
Ответ: $9y^4$.

б) В одночлене $0,15pq \cdot 4pq^2$ сначала перемножим числовые коэффициенты: $0,15 \cdot 4 = 0,6$.
Затем перемножим степени с одинаковыми основаниями 'p' и 'q':
$p \cdot p = p^1 \cdot p^1 = p^{1+1} = p^2$
$q \cdot q^2 = q^1 \cdot q^2 = q^{1+2} = q^3$
Собираем всё вместе, располагая переменные в алфавитном порядке: $0,6p^2q^3$.
Ответ: $0,6p^2q^3$.

в) Рассмотрим одночлен $-8ab(-2,5)b^2$. Перемножим числовые коэффициенты: $(-8) \cdot (-2,5) = 20$.
Переменная 'a' встречается один раз. Перемножим степени с основанием 'b':
$b \cdot b^2 = b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3$
Запишем одночлен в стандартном виде: $20ab^3$.
Ответ: $20ab^3$.

г) Для одночлена $10a^2b^2(-1,2a^3)$ перемножим коэффициенты: $10 \cdot (-1,2) = -12$.
Перемножим степени с основанием 'a':
$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$
Переменная 'b' представлена как $b^2$.
Результат в стандартном виде: $-12a^5b^2$.
Ответ: $-12a^5b^2$.

д) В одночлене $2m^3n \cdot 0,4mn$ перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot 0,4 = 0,8$.
Перемножим степени с одинаковыми основаниями 'm' и 'n':
$m^3 \cdot m = m^3 \cdot m^1 = m^{3+1} = m^4$
$n \cdot n = n^1 \cdot n^1 = n^{1+1} = n^2$
Собираем одночлен: $0,8m^4n^2$.
Ответ: $0,8m^4n^2$.

е) Для одночлена $-2x^3 \cdot 0,5xy^2$ перемножим коэффициенты: $-2 \cdot 0,5 = -1$.
Перемножим степени с основанием 'x':
$x^3 \cdot x = x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$
Переменная 'y' представлена как $y^2$.
Собираем одночлен в стандартном виде. Коэффициент -1 обычно не пишется, оставляют только знак минус: $-x^4y^2$.
Ответ: $-x^4y^2$.

461. Ширина прямоугольника равна $m$ см, а длина в 5 раз больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо умножить его ширину на длину.

Пусть ширина прямоугольника будет $a$, а длина — $b$.

Согласно условию задачи, ширина прямоугольника равна $m$ см.
$a = m$ см.

Длина прямоугольника в 5 раз больше ширины. Чтобы найти длину, нужно значение ширины умножить на 5:
$b = 5 \cdot a = 5 \cdot m = 5m$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b$

Подставим в эту формулу найденные значения ширины и длины:
$S = m \cdot 5m$

Упростим выражение:
$S = 5m^2$ см²

Ответ: площадь прямоугольника равна $5m^2$ см².