Страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

468. Перемножьте одночлены:

а) $-11x^2y$ и $0,3x^2y^2$;

б) $a^5b$ и $-ab^3c$;

в) $4xy$, $-x^2$ и $-y^3$;

г) $a^2x^5b$, $-0,6axb^2$ и $0,6a^2b^3$.

а) Чтобы перемножить одночлены $-11x^2y$ и $0,3x^2y^2$, необходимо перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
1. Произведение коэффициентов: $(-11) \cdot 0,3 = -3,3$.
2. Произведение степеней переменной $x$: $x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4$.
3. Произведение степеней переменной $y$: $y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$.
Объединив результаты, получаем:
$(-11x^2y) \cdot (0,3x^2y^2) = -3,3x^4y^3$.
Ответ: $-3,3x^4y^3$.

б) Перемножим одночлены $a^5b$ и $-ab^3c$. Коэффициент первого одночлена равен $1$, второго — $-1$.
1. Произведение коэффициентов: $1 \cdot (-1) = -1$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a^5 \cdot a = a^{5+1} = a^6$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4$.
4. Переменная $c$ остается без изменений, так как она содержится только во втором одночлене.
Результат произведения:
$(a^5b) \cdot (-ab^3c) = -a^6b^4c$.
Ответ: $-a^6b^4c$.

в) Перемножим три одночлена: $4xy$, $-x^2$ и $-y^3$.
1. Произведение коэффициентов: $4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 4$.
2. Произведение степеней переменной $x$: $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.
3. Произведение степеней переменной $y$: $y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$.
Объединив результаты, получаем:
$(4xy) \cdot (-x^2) \cdot (-y^3) = 4x^3y^4$.
Ответ: $4x^3y^4$.

г) Перемножим три одночлена: $a^2x^5b$, $-0,6axb^2$ и $0,6a^2b^3$.
1. Произведение коэффициентов: $1 \cdot (-0,6) \cdot 0,6 = -0,36$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a^2 \cdot a \cdot a^2 = a^{2+1+2} = a^5$.
3. Произведение степеней переменной $b$: $b \cdot b^2 \cdot b^3 = b^{1+2+3} = b^6$.
4. Произведение степеней переменной $x$: $x^5 \cdot x = x^{5+1} = x^6$.
Объединив результаты и расположив переменные в алфавитном порядке, получаем:
$(a^2x^5b) \cdot (-0,6axb^2) \cdot (0,6a^2b^3) = -0,36a^5b^6x^6$.
Ответ: $-0,36a^5b^6x^6$.

471. Представьте одночлен $-12x^4y^3$ двумя способами в виде произведения:

а) двух одночленов стандартного вида;

б) трёх одночленов стандартного вида.

Задача состоит в том, чтобы представить одночлен $-12x^4y^3$ в виде произведения других одночленов стандартного вида. Одночлен стандартного вида — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных.

а) двух одночленов стандартного вида;

Чтобы представить исходный одночлен в виде произведения двух одночленов, нужно разбить на два множителя его коэффициент ($-12$) и степени каждой переменной ($x^4$ и $y^3$).

1. Коэффициент: разложим $-12$ на два множителя, например, $-12 = 2 \cdot (-6)$.

2. Переменная $x$: представим $x^4$ в виде произведения двух степеней. По свойству степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, нам нужны два показателя, сумма которых равна $4$. Возьмем, к примеру, $1$ и $3$: $x^4 = x^1 \cdot x^3$.

3. Переменная $y$: аналогично для $y^3$ нужны два показателя с суммой $3$. Возьмем $2$ и $1$: $y^3 = y^2 \cdot y^1$.

Теперь объединим полученные множители в два одночлена. Можно сгруппировать их по-разному. Например, так:

Первый одночлен: $2x^1y^2$ или $2xy^2$.

Второй одночлен: $-6x^3y^1$ или $-6x^3y$.

Проверим, равно ли их произведение исходному одночлену:

$(2xy^2) \cdot (-6x^3y) = (2 \cdot (-6)) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y) = -12x^{1+3}y^{2+1} = -12x^4y^3$.

Равенство выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.

Ответ: $-12x^4y^3 = (2xy^2) \cdot (-6x^3y)$.

б) трёх одночленов стандартного вида.

Чтобы представить одночлен в виде произведения трёх одночленов, нужно разбить коэффициент и степени переменных на три множителя.

1. Коэффициент: разложим $-12$ на три множителя, например, $-12 = (-1) \cdot 3 \cdot 4$.

2. Переменная $x$: представим $x^4$ как произведение трёх степеней. Сумма показателей должна быть $4$. Возьмем $2$, $1$ и $1$: $x^4 = x^2 \cdot x^1 \cdot x^1$.

3. Переменная $y$: для $y^3$ сумма показателей должна быть $3$. Возьмем $1$, $1$ и $1$: $y^3 = y^1 \cdot y^1 \cdot y^1$.

Объединим множители в три одночлена:

Первый одночлен: $-1x^2y^1$ или $-x^2y$.

Второй одночлен: $3x^1y^1$ или $3xy$.

Третий одночлен: $4x^1y^1$ или $4xy$.

Проверим произведение:

$(-x^2y) \cdot (3xy) \cdot (4xy) = ((-1) \cdot 3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y) = -12x^{2+1+1}y^{1+1+1} = -12x^4y^3$.

Равенство выполняется, это один из верных вариантов.

Ответ: $-12x^4y^3 = (-x^2y) \cdot (3xy) \cdot (4xy)$.

474. Возведите одночлен:

а) $5x^2y^3$ в квадрат;

б) $-4ax^3$ в куб;

в) $-2m^3n^2$ в четвёртую степень;

г) $-a^2bc^3$ в пятую степень.

а) Чтобы возвести одночлен $5x^2y^3$ в квадрат, необходимо каждый множитель, входящий в состав одночлена, возвести во вторую степень. Применяем свойство степени произведения $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5x^2y^3)^2 = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 25 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 2} = 25x^4y^6$.

Ответ: $25x^4y^6$.

б) Чтобы возвести одночлен $-4ax^3$ в куб, возводим каждый его множитель в третью степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным.

$(-4ax^3)^3 = (-4)^3 \cdot a^3 \cdot (x^3)^3 = -64 \cdot a^3 \cdot x^{3 \cdot 3} = -64a^3x^9$.

Ответ: $-64a^3x^9$.

в) Чтобы возвести одночлен $-2m^3n^2$ в четвёртую степень, возводим каждый его множитель в четвертую степень. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 4) результат будет положительным.

$(-2m^3n^2)^4 = (-2)^4 \cdot (m^3)^4 \cdot (n^2)^4 = 16 \cdot m^{3 \cdot 4} \cdot n^{2 \cdot 4} = 16m^{12}n^8$.

Ответ: $16m^{12}n^8$.

г) Чтобы возвести одночлен $-a^2bc^3$ в пятую степень, возводим каждый его множитель в пятую степень. Знак минус перед одночленом можно рассматривать как множитель $-1$. При возведении $-1$ в нечетную степень (в данном случае 5) результат будет $-1$.

$(-a^2bc^3)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot b^5 \cdot (c^3)^5 = -1 \cdot a^{2 \cdot 5} \cdot b^5 \cdot c^{3 \cdot 5} = -a^{10}b^5c^{15}$.

Ответ: $-a^{10}b^5c^{15}$.

477. Представьте каждый из одночленов:

а) $9b^2c^2$, $100m^2n^6$ в виде квадрата одночлена;

б) $-a^3b^6$, $-27x^6b^9$ в виде куба одночлена.

а) Представить одночлены $9b^2c^2$ и $100m^2n^6$ в виде квадрата одночлена.

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$.

Для одночлена $9b^2c^2$:
Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{9} = 3$.
Делим показатели степеней переменных на 2: для $b^2$ получаем $b^{2/2} = b^1 = b$; для $c^2$ получаем $c^{2/2} = c^1 = c$.
Собираем новый одночлен: $3bc$.
Таким образом, $9b^2c^2 = (3bc)^2$.
Проверка: $(3bc)^2 = 3^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 9b^2c^2$.

Для одночлена $100m^2n^6$:
Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.
Делим показатели степеней переменных на 2: для $m^2$ получаем $m^{2/2} = m^1 = m$; для $n^6$ получаем $n^{6/2} = n^3$.
Собираем новый одночлен: $10mn^3$.
Таким образом, $100m^2n^6 = (10mn^3)^2$.
Проверка: $(10mn^3)^2 = 10^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2 = 100m^2n^6$.

Ответ: $9b^2c^2 = (3bc)^2$; $100m^2n^6 = (10mn^3)^2$.

б) Представить одночлены $-a^3b^6$ и $-27x^6b^9$ в виде куба одночлена.

Чтобы представить одночлен в виде куба другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в куб даст исходный. Для этого необходимо извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 3.

Для одночлена $-a^3b^6$:
Коэффициент равен -1. Находим кубический корень: $\sqrt[3]{-1} = -1$.
Делим показатели степеней переменных на 3: для $a^3$ получаем $a^{3/3} = a^1 = a$; для $b^6$ получаем $b^{6/3} = b^2$.
Собираем новый одночлен: $-ab^2$.
Таким образом, $-a^3b^6 = (-ab^2)^3$.
Проверка: $(-ab^2)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = -1 \cdot a^3 \cdot b^6 = -a^3b^6$.

Для одночлена $-27x^6b^9$:
Находим кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-27} = -3$.
Делим показатели степеней переменных на 3: для $x^6$ получаем $x^{6/3} = x^2$; для $b^9$ получаем $b^{9/3} = b^3$.
Собираем новый одночлен: $-3x^2b^3$.
Таким образом, $-27x^6b^9 = (-3x^2b^3)^3$.
Проверка: $(-3x^2b^3)^3 = (-3)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (b^3)^3 = -27 \cdot x^6 \cdot b^9 = -27x^6b^9$.

Ответ: $-a^3b^6 = (-ab^2)^3$; $-27x^6b^9 = (-3x^2b^3)^3$.

469. Выполните умножение:

а) $3.5 \cdot 3m$;

б) $-6ax^3 \cdot 9bx^2$;

в) $-8a^2b^2 \cdot (-8a^3b^5)$;

г) $ab \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b$;

д) $10x^2y \cdot (-xy^2) \cdot 0.6x^3$;

е) $-9ab^2 \cdot 3a^3 \cdot (-4b)$.

а) Чтобы выполнить умножение $3,5 \cdot 3m$, нужно перемножить числовые коэффициенты и дописать буквенный множитель.

$3,5 \cdot 3m = (3,5 \cdot 3) \cdot m = 10,5m$

Ответ: $10,5m$

б) Чтобы выполнить умножение $-6ax^3 \cdot 9bx^2$, нужно перемножить числовые коэффициенты, а затем переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

$-6ax^3 \cdot 9bx^2 = (-6 \cdot 9) \cdot (a \cdot b) \cdot (x^3 \cdot x^2) = -54 \cdot ab \cdot x^{3+2} = -54abx^5$

Ответ: $-54abx^5$

в) Чтобы выполнить умножение $-8a^2b^2 \cdot (-8a^3b^5)$, перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$-8a^2b^2 \cdot (-8a^3b^5) = (-8 \cdot -8) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^5) = 64 \cdot a^{2+3} \cdot b^{2+5} = 64a^5b^7$

Ответ: $64a^5b^7$

г) Чтобы выполнить умножение $ab \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b$, сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

$ab \cdot (-7ab^2) \cdot 4a^2b = (1 \cdot -7 \cdot 4) \cdot (a \cdot a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b^2 \cdot b) = -28 \cdot a^{1+1+2} \cdot b^{1+2+1} = -28a^4b^4$

Ответ: $-28a^4b^4$

д) Чтобы выполнить умножение $10x^2y \cdot (-xy^2) \cdot 0,6x^3$, перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.

$10x^2y \cdot (-xy^2) \cdot 0,6x^3 = (10 \cdot (-1) \cdot 0,6) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^2) = -6 \cdot x^{2+1+3} \cdot y^{1+2} = -6x^6y^3$

Ответ: $-6x^6y^3$

е) Чтобы выполнить умножение $-9ab^2 \cdot 3a^3 \cdot (-4b)$, перемножим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.

$-9ab^2 \cdot 3a^3 \cdot (-4b) = (-9 \cdot 3 \cdot (-4)) \cdot (a \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b) = 108 \cdot a^{1+3} \cdot b^{2+1} = 108a^4b^3$

Ответ: $108a^4b^3$

472. Выполните возведение в степень:

а) $(3x^2)^3;$

б) $(4m)^2;$

в) $(-2a^4b^2)^3;$

г) $(-3x^2y)^4;$

д) $(-a^2bc^3)^5;$

е) $(-a^3b^2c)^2.$

а) Для возведения одночлена $(3x^2)$ в третью степень, необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. Используем правило возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27 \cdot x^{2 \cdot 3} = 27x^6$.
Ответ: $27x^6$

б) Чтобы возвести одночлен $(4m)$ в квадрат, нужно каждый множитель этого одночлена возвести во вторую степень.
$(4m)^2 = 4^2 \cdot m^2 = 16m^2$.
Ответ: $16m^2$

в) Возводим одночлен $(-2a^4b^2)$ в третью степень. Каждый множитель, включая знак (который можно представить как множитель -1), возводится в эту степень. Отрицательное число в нечетной степени (3) остается отрицательным.
$(-2a^4b^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^2)^3 = -8 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = -8a^{12}b^6$.
Ответ: $-8a^{12}b^6$

г) Возводим одночлен $(-3x^2y)$ в четвертую степень. Каждый множитель возводится в эту степень. Отрицательное число в четной степени (4) становится положительным.
$(-3x^2y)^4 = (-3)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = 81 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^4 = 81x^8y^4$.
Ответ: $81x^8y^4$

д) Возводим одночлен $(-a^2bc^3)$ в пятую степень. Каждый множитель возводится в эту степень. Знак минус соответствует множителю $-1$, который в нечетной степени (5) остаётся отрицательным.
$(-a^2bc^3)^5 = (-1)^5 \cdot (a^2)^5 \cdot b^5 \cdot (c^3)^5 = -1 \cdot a^{2 \cdot 5} \cdot b^5 \cdot c^{3 \cdot 5} = -a^{10}b^5c^{15}$.
Ответ: $-a^{10}b^5c^{15}$

е) Возводим одночлен $(-a^3b^2c)$ во вторую степень. Каждый множитель возводится в квадрат. Знак минус в четной степени (2) становится положительным.
$(-a^3b^2c)^2 = (-1)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 \cdot c^2 = 1 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} \cdot c^2 = a^6b^4c^2$.
Ответ: $a^6b^4c^2$

475. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:

а) $81x^4$;

б) $121a^6$;

в) $0,09y^{12}$;

г) $\frac{4}{9}b^6$.

а) Чтобы представить выражение $81x^4$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 2.

Коэффициент равен 81. Квадратный корень из 81 равен 9, так как $9^2 = 81$.

Переменная $x$ имеет показатель степени 4. Разделим его на 2: $4 \div 2 = 2$. Получаем $x^2$.

Таким образом, исходное выражение можно представить как квадрат одночлена $9x^2$: $81x^4 = (9x^2)^2$.

Ответ: $(9x^2)^2$.

б) Для выражения $121a^6$ действуем аналогично.

Квадратный корень из коэффициента 121 равен 11 ($11^2 = 121$).

Показатель степени переменной $a$ равен 6. Делим его на 2: $6 \div 2 = 3$. Получаем $a^3$.

Следовательно, выражение можно представить в виде квадрата одночлена $11a^3$: $121a^6 = (11a^3)^2$.

Ответ: $(11a^3)^2$.

в) Рассмотрим выражение $0,09y^{12}$.

Квадратный корень из коэффициента 0,09 равен 0,3, так как $0,3^2 = 0,09$.

Показатель степени переменной $y$ равен 12. Делим его на 2: $12 \div 2 = 6$. Получаем $y^6$.

В результате получаем, что $0,09y^{12}$ является квадратом одночлена $0,3y^6$: $0,09y^{12} = (0,3y^6)^2$.

Ответ: $(0,3y^6)^2$.

г) Для выражения $\frac{4}{9}b^6$ с дробным коэффициентом.

Извлекаем квадратный корень из дроби $\frac{4}{9}$. Для этого извлекаем корень из числителя и знаменателя по отдельности: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

Показатель степени переменной $b$ равен 6. Делим его на 2: $6 \div 2 = 3$. Получаем $b^3$.

Таким образом, выражение можно записать в виде квадрата одночлена $\frac{2}{3}b^3$: $\frac{4}{9}b^6 = (\frac{2}{3}b^3)^2$.

Ответ: $(\frac{2}{3}b^3)^2$.

478. Запишите каждый из одночленов:

а) $16x^6$, $49m^2n^4$ и $m^8$ в виде квадрата одночлена;

б) $a^9$, $-8m^3$ и $1000x^3y^6$ в виде куба одночлена.

а)

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого нужно извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить каждый из показателей степеней переменных на 2. Это основано на свойстве степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

• Рассмотрим одночлен $16x^6$.
  Числовой коэффициент равен 16. Квадратный корень из 16 равен 4, так как $4^2 = 16$.
  Показатель степени переменной $x$ равен 6. Делим его на 2: $6 / 2 = 3$.
  Таким образом, получаем одночлен $4x^3$. Проверим: $(4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6$.
  Значит, $16x^6 = (4x^3)^2$.

• Рассмотрим одночлен $49m^2n^4$.
  Коэффициент 49, $\sqrt{49} = 7$.
  Для переменной $m$ показатель степени 2. Делим на 2: $2/2 = 1$.
  Для переменной $n$ показатель степени 4. Делим на 2: $4/2 = 2$.
  Получаем одночлен $7m^1n^2$ или $7mn^2$. Проверим: $(7mn^2)^2 = 7^2 \cdot m^2 \cdot (n^2)^2 = 49m^2n^4$.
  Значит, $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$.

• Рассмотрим одночлен $m^8$.
  Коэффициент равен 1, $\sqrt{1} = 1$.
  Показатель степени переменной $m$ равен 8. Делим на 2: $8/2 = 4$.
  Получаем одночлен $m^4$. Проверим: $(m^4)^2 = m^{4 \cdot 2} = m^8$.
  Значит, $m^8 = (m^4)^2$.

Ответ: $16x^6 = (4x^3)^2$; $49m^2n^4 = (7mn^2)^2$; $m^8 = (m^4)^2$.

б)

Чтобы представить одночлен в виде куба другого одночлена, необходимо извлечь кубический корень из коэффициента и разделить показатели степеней переменных на 3.

• Рассмотрим одночлен $a^9$.
  Коэффициент равен 1, $\sqrt[3]{1} = 1$.
  Показатель степени переменной $a$ равен 9. Делим на 3: $9/3 = 3$.
  Получаем одночлен $a^3$. Проверим: $(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$.
  Значит, $a^9 = (a^3)^3$.

• Рассмотрим одночлен $-8m^3$.
  Коэффициент равен -8. Кубический корень из -8 равен -2, так как $(-2)^3 = -8$.
  Показатель степени переменной $m$ равен 3. Делим на 3: $3/3 = 1$.
  Получаем одночлен $-2m$. Проверим: $(-2m)^3 = (-2)^3 \cdot m^3 = -8m^3$.
  Значит, $-8m^3 = (-2m)^3$.

• Рассмотрим одночлен $1000x^3y^6$.
  Коэффициент равен 1000, $\sqrt[3]{1000} = 10$.
  Для переменной $x$ показатель степени 3. Делим на 3: $3/3 = 1$.
  Для переменной $y$ показатель степени 6. Делим на 3: $6/3 = 2$.
  Получаем одночлен $10xy^2$. Проверим: $(10xy^2)^3 = 10^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = 1000x^3y^6$.
  Значит, $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.

Ответ: $a^9 = (a^3)^3$; $-8m^3 = (-2m)^3$; $1000x^3y^6 = (10xy^2)^3$.

467. Выполните умножение:

а) $4x \cdot 7y;$

б) $-8x \cdot 5x^3;$

в) $\frac{4}{9}ab^3 \cdot \frac{3}{2}ab;$

г) $x^2y^5 \cdot (-6xy^2);$

д) $-0,6a^2b \cdot (-10ab^2);$

е) $-\frac{1}{5}m^3n^4 \cdot 5m^2n^3.$

а) Чтобы умножить одночлены, нужно перемножить их числовые коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями. При умножении степеней их показатели складываются.

$4x \cdot 7y = (4 \cdot 7) \cdot (x \cdot y) = 28xy$

Ответ: $28xy$

б) Перемножаем коэффициенты $-8$ и $5$. Перемножаем переменные $x$ и $x^3$, складывая их показатели степеней ($1$ и $3$).

$-8x \cdot 5x^3 = (-8 \cdot 5) \cdot (x^1 \cdot x^3) = -40x^{1+3} = -40x^4$

Ответ: $-40x^4$

в) Перемножаем дробные коэффициенты $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{2}$. Затем перемножаем переменные $a$ и $a$, а также $b^3$ и $b$.

$\frac{4}{9}ab^3 \cdot \frac{3}{2}ab = (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b) = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 2} a^{1+1} b^{3+1} = \frac{12}{18}a^2b^4 = \frac{2}{3}a^2b^4$

Ответ: $\frac{2}{3}a^2b^4$

г) Коэффициент первого одночлена равен $1$. Умножаем $1$ на $-6$. Перемножаем степени переменной $x$ ($x^2$ и $x$) и степени переменной $y$ ($y^5$ и $y^2$).

$x^2y^5 \cdot (-6xy^2) = (1 \cdot -6) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^5 \cdot y^2) = -6x^{2+1}y^{5+2} = -6x^3y^7$

Ответ: $-6x^3y^7$

д) Перемножаем десятичные дроби $-0,6$ и $-10$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Затем перемножаем переменные.

$-0,6a^2b \cdot (-10ab^2) = (-0,6 \cdot -10) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = 6a^{2+1}b^{1+2} = 6a^3b^3$

Ответ: $6a^3b^3$

е) Перемножаем коэффициенты $-\frac{1}{5}$ и $5$. Затем перемножаем степени переменных $m$ и $n$.

$-\frac{1}{5}m^3n^4 \cdot 5m^2n^3 = (-\frac{1}{5} \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^2) \cdot (n^4 \cdot n^3) = -1 \cdot m^{3+2}n^{4+3} = -m^5n^7$

Ответ: $-m^5n^7$

470. Представьте несколькими способами одночлен $6a^2b^3$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида.

Чтобы представить одночлен $6a^2b^3$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, необходимо разложить на два множителя его числовой коэффициент (6) и степени каждой из переменных ($a^2$ и $b^3$). Это можно сделать множеством способов, основываясь на свойстве умножения степеней: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Вот несколько примеров.

Способ 1

Разложим все части исходного одночлена: $6 = 2 \cdot 3$, $a^2 = a \cdot a$, $b^3 = b \cdot b^2$. Сгруппируем множители в два новых одночлена: $(2ab)$ и $(3ab^2)$. Их произведение равно $(2ab) \cdot (3ab^2) = (2 \cdot 3) \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b^2) = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (2ab) \cdot (3ab^2)$.

Способ 2

Разложим коэффициент с использованием отрицательных чисел: $6 = (-1) \cdot (-6)$, а переменные распределим между множителями. Например, возьмем одночлены $(-a^2b)$ и $(-6b^2)$. Их произведение равно $(-a^2b) \cdot (-6b^2) = ((-1) \cdot (-6)) \cdot a^2 \cdot (b \cdot b^2) = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (-a^2b) \cdot (-6b^2)$.

Способ 3

Один из одночленов может не содержать всех переменных. Например, представим $6a^2b^3$ как произведение $(3a)$ и $(2ab^3)$. Проверка: $(3a) \cdot (2ab^3) = (3 \cdot 2) \cdot (a \cdot a) \cdot b^3 = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = (3a) \cdot (2ab^3)$.

Способ 4

Один из одночленов может быть просто числом. Например, представим $6a^2b^3$ как произведение $6$ и $a^2b^3$. Проверка: $6 \cdot (a^2b^3) = 6a^2b^3$.
Ответ: $6a^2b^3 = 6 \cdot a^2b^3$.

473. Представьте в виде одночлена стандартного вида:

а) $(2m^3)^4;$

б) $(3a)^2;$

в) $(-0,6m^3n^2)^3;$

г) $(-2xy^3)^2;$

д) $(-xy^4b^2)^4;$

е) $(-x^2y^3m)^5.$

а) Чтобы представить выражение $(2m^3)^4$ в виде одночлена стандартного вида, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель, находящийся в скобках. Для этого используем свойства степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(2m^3)^4 = 2^4 \cdot (m^3)^4 = 16 \cdot m^{3 \cdot 4} = 16m^{12}$.
Ответ: $16m^{12}$.

б) Чтобы представить выражение $(3a)^2$ в виде одночлена стандартного вида, возводим в квадрат каждый множитель в скобках.
$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.
Ответ: $9a^2$.

в) В выражении $(-0,6m^3n^2)^3$ возводим в куб (третью степень) каждый множитель.
$(-0,6m^3n^2)^3 = (-0,6)^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^2)^3$.
Вычисляем числовой коэффициент: $(-0,6)^3 = -0,6 \cdot (-0,6) \cdot (-0,6) = 0,36 \cdot (-0,6) = -0,216$.
Возводим в степень переменные: $(m^3)^3 = m^{3 \cdot 3} = m^9$ и $(n^2)^3 = n^{2 \cdot 3} = n^6$.
Объединяем результаты: $-0,216m^9n^6$.
Ответ: $-0,216m^9n^6$.

г) Для выражения $(-2xy^3)^2$ возводим в квадрат каждый множитель. Поскольку степень четная (2), результат будет положительным.
$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = 4 \cdot x^2 \cdot y^{3 \cdot 2} = 4x^2y^6$.
Ответ: $4x^2y^6$.

д) В выражении $(-xy^4b^2)^4$ возводим в четвертую степень каждый множитель. Коэффициент перед переменными равен -1. Так как степень четная (4), результат будет положительным.
$(-xy^4b^2)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 \cdot (y^4)^4 \cdot (b^2)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot y^{4 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} = x^4y^{16}b^8$.
Для приведения к стандартному виду запишем переменные в алфавитном порядке: $b^8x^4y^{16}$.
Ответ: $b^8x^4y^{16}$.

е) В выражении $(-x^2y^3m)^5$ возводим в пятую степень каждый множитель. Коэффициент равен -1. Так как степень нечетная (5), результат будет отрицательным.
$(-x^2y^3m)^5 = (-1)^5 \cdot (x^2)^5 \cdot (y^3)^5 \cdot m^5 = -1 \cdot x^{2 \cdot 5} \cdot y^{3 \cdot 5} \cdot m^5 = -x^{10}y^{15}m^5$.
Для приведения к стандартному виду запишем переменные в алфавитном порядке: $-m^5x^{10}y^{15}$.
Ответ: $-m^5x^{10}y^{15}$.

476. Представьте выражение в виде куба одночлена:

а) $64x^9$;

б) $0.001y^{12}$;

в) $-0.008b^6$;

г) $-\frac{8}{27}a^{15}$.

а) Чтобы представить выражение $64x^9$ в виде куба одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь кубический корень из числового коэффициента и переменной в соответствующей степени.

1. Находим кубический корень из коэффициента 64: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.

2. Находим кубический корень из $x^9$. При возведении степени в степень показатели перемножаются, поэтому, чтобы найти основание, нужно показатель степени разделить на 3: $x^{9:3} = x^3$.

Таким образом, искомый одночлен — это $4x^3$.

Проверка: $(4x^3)^3 = 4^3 \cdot (x^3)^3 = 64x^9$.

Ответ: $(4x^3)^3$.

б) Рассмотрим выражение $0,001y^{12}$.

1. Находим кубический корень из коэффициента 0,001: $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$, так как $0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.

2. Находим кубический корень из $y^{12}$: $y^{12:3} = y^4$.

Следовательно, искомый одночлен — это $0,1y^4$.

Проверка: $(0,1y^4)^3 = 0,1^3 \cdot (y^4)^3 = 0,001y^{12}$.

Ответ: $(0,1y^4)^3$.

в) Представим выражение $-0,008b^6$ в виде куба одночлена.

1. Находим кубический корень из коэффициента -0,008. Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным. $\sqrt[3]{-0,008} = -0,2$, так как $(-0,2)^3 = (-0,2) \cdot (-0,2) \cdot (-0,2) = -0,008$.

2. Находим кубический корень из $b^6$: $b^{6:3} = b^2$.

Искомый одночлен равен $-0,2b^2$.

Проверка: $(-0,2b^2)^3 = (-0,2)^3 \cdot (b^2)^3 = -0,008b^6$.

Ответ: $(-0,2b^2)^3$.

г) Рассмотрим выражение $-\frac{8}{27}a^{15}$.

1. Находим кубический корень из коэффициента $-\frac{8}{27}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$. Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{8}=2$ и $\sqrt[3]{27}=3$. Следовательно, кубический корень из коэффициента равен $-\frac{2}{3}$.

2. Находим кубический корень из $a^{15}$: $a^{15:3} = a^5$.

Объединяя результаты, получаем одночлен $-\frac{2}{3}a^5$.

Проверка: $(-\frac{2}{3}a^5)^3 = (-\frac{2}{3})^3 \cdot (a^5)^3 = -\frac{2^3}{3^3}a^{5 \cdot 3} = -\frac{8}{27}a^{15}$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}a^5)^3$.