Номер 471, страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 471, страница 111.

Условие.

471. Представьте одночлен $-12x^4y^3$ двумя способами в виде произведения:

а) двух одночленов стандартного вида;

б) трёх одночленов стандартного вида.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Задача состоит в том, чтобы представить одночлен $-12x^4y^3$ в виде произведения других одночленов стандартного вида. Одночлен стандартного вида — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных.

а) двух одночленов стандартного вида;

Чтобы представить исходный одночлен в виде произведения двух одночленов, нужно разбить на два множителя его коэффициент ($-12$) и степени каждой переменной ($x^4$ и $y^3$).

1. Коэффициент: разложим $-12$ на два множителя, например, $-12 = 2 \cdot (-6)$.

2. Переменная $x$: представим $x^4$ в виде произведения двух степеней. По свойству степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$, нам нужны два показателя, сумма которых равна $4$. Возьмем, к примеру, $1$ и $3$: $x^4 = x^1 \cdot x^3$.

3. Переменная $y$: аналогично для $y^3$ нужны два показателя с суммой $3$. Возьмем $2$ и $1$: $y^3 = y^2 \cdot y^1$.

Теперь объединим полученные множители в два одночлена. Можно сгруппировать их по-разному. Например, так:

Первый одночлен: $2x^1y^2$ или $2xy^2$.

Второй одночлен: $-6x^3y^1$ или $-6x^3y$.

Проверим, равно ли их произведение исходному одночлену:

$(2xy^2) \cdot (-6x^3y) = (2 \cdot (-6)) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y) = -12x^{1+3}y^{2+1} = -12x^4y^3$.

Равенство выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.

Ответ: $-12x^4y^3 = (2xy^2) \cdot (-6x^3y)$.

б) трёх одночленов стандартного вида.

Чтобы представить одночлен в виде произведения трёх одночленов, нужно разбить коэффициент и степени переменных на три множителя.

1. Коэффициент: разложим $-12$ на три множителя, например, $-12 = (-1) \cdot 3 \cdot 4$.

2. Переменная $x$: представим $x^4$ как произведение трёх степеней. Сумма показателей должна быть $4$. Возьмем $2$, $1$ и $1$: $x^4 = x^2 \cdot x^1 \cdot x^1$.

3. Переменная $y$: для $y^3$ сумма показателей должна быть $3$. Возьмем $1$, $1$ и $1$: $y^3 = y^1 \cdot y^1 \cdot y^1$.

Объединим множители в три одночлена:

Первый одночлен: $-1x^2y^1$ или $-x^2y$.

Второй одночлен: $3x^1y^1$ или $3xy$.

Третий одночлен: $4x^1y^1$ или $4xy$.

Проверим произведение:

$(-x^2y) \cdot (3xy) \cdot (4xy) = ((-1) \cdot 3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x \cdot x) \cdot (y \cdot y \cdot y) = -12x^{2+1+1}y^{1+1+1} = -12x^4y^3$.

Равенство выполняется, это один из верных вариантов.

Ответ: $-12x^4y^3 = (-x^2y) \cdot (3xy) \cdot (4xy)$.