Номер 466, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Одночлен и его стандартный вид. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 466, страница 110.

Условие.

466. Найдите значение выражения:

а) $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$;б) $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^3 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$, представим основания степеней в виде произведения простых чисел.
Число 4 можно представить как $2^2$, а число 6 — как $2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^3 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Воспользуемся свойствами степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^6 \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим дробь на общий множитель $3^{10}$:
$\frac{2^6}{2^{10}}$
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{6-10} = 2^{-4}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$, разложим основания 6 и 9 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}$
Используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, раскроем скобки:
$\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
В числителе применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Сократим дробь на $3^{18}$:
$\frac{2^{24}}{2^{25}}$
Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{24-25} = 2^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.