Номер 5, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 5, страница 108.

Условие.

Дайте определение степени числа с нулевым показателем.

Решение 1.

Решение 5.

Определение степени числа с нулевым показателем является логическим продолжением свойств степени с натуральным показателем. Чтобы понять, почему любое ненулевое число в степени ноль равно единице, обратимся к правилу деления степеней с одинаковым основанием.

Это правило гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. В виде формулы это выглядит так: $a^m / a^n = a^{m-n}$. Данное свойство выполняется для любого основания $a \neq 0$ и натуральных показателей $m$ и $n$.

Для того чтобы свойство оставалось верным для всех целых показателей, рассмотрим случай, когда показатели степеней равны, то есть $m = n$. Возьмем выражение $a^n / a^n$, где $a$ — любое число, не равное нулю.

С одной стороны, мы знаем, что любое ненулевое число, деленное само на себя, дает в результате единицу. Таким образом, мы можем записать: $a^n / a^n = 1$.

С другой стороны, если мы применим к этому же выражению правило деления степеней, то получим: $a^n / a^n = a^{n-n} = a^0$.

Так как левые части обоих равенств ($a^n / a^n$) одинаковы, то должны быть равны и их правые части. Отсюда мы и получаем фундаментальное равенство: $a^0 = 1$.

Важно отметить, почему это правило не применяется к нулю. Основание $a$ должно быть не равно нулю ($a \neq 0$), поскольку в нашем выводе используется операция деления на $a^n$. Если бы $a=0$, это привело бы к делению на ноль, которое в математике не определено. По этой причине выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) считается неопределенным.

Ответ: Степенью любого числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем является число 1. Формулой это записывается так: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.