Номер 452, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 452, страница 107.

Условие.

452. Какой цифрой может оканчиваться:

a) квадрат натурального числа;

б) четвёртая степень натурального числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) квадрат натурального числа

Последняя цифра квадрата натурального числа $n^2$ зависит только от последней цифры самого числа $n$. Чтобы найти все возможные последние цифры, достаточно возвести в квадрат все цифры от 0 до 9 и посмотреть на последнюю цифру результата:
$0^2 = 0$, последняя цифра 0.
$1^2 = 1$, последняя цифра 1.
$2^2 = 4$, последняя цифра 4.
$3^2 = 9$, последняя цифра 9.
$4^2 = 16$, последняя цифра 6.
$5^2 = 25$, последняя цифра 5.
$6^2 = 36$, последняя цифра 6.
$7^2 = 49$, последняя цифра 9.
$8^2 = 64$, последняя цифра 4.
$9^2 = 81$, последняя цифра 1.

Таким образом, собрав все уникальные последние цифры, мы видим, что квадрат натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

Ответ: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

б) четвёртая степень натурального числа

Последняя цифра четвертой степени натурального числа $n^4$ также зависит только от последней цифры числа $n$. Четвертую степень можно представить как квадрат квадрата: $n^4 = (n^2)^2$.

Из пункта а) мы знаем, что квадрат числа ($n^2$) может оканчиваться только на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9. Теперь найдем, на какую цифру будет оканчиваться квадрат числа, последняя цифра которого принадлежит этому набору:
Если последняя цифра $n^2$ равна 0, то последняя цифра $n^4$ равна $0^2=0$.
Если последняя цифра $n^2$ равна 1, то последняя цифра $n^4$ равна $1^2=1$.
Если последняя цифра $n^2$ равна 4, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $4^2=16$, то есть 6.
Если последняя цифра $n^2$ равна 5, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $5^2=25$, то есть 5.
Если последняя цифра $n^2$ равна 6, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $6^2=36$, то есть 6.
Если последняя цифра $n^2$ равна 9, то последняя цифра $n^4$ равна последней цифре числа $9^2=81$, то есть 1.

Таким образом, собрав все уникальные последние цифры, мы видим, что четвертая степень натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 5, 6.

Ответ: 0, 1, 5, 6.