Номер 408, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 408, страница 101.

Условие.

408. Представьте в виде степени произведение:

а) $x^2x^5x^4$;

б) $y^3y^2y$;

в) $mm^3m^2m^5$;

г) $p^4p^3pp$;

д) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$;

е) $3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном примере основание у всех множителей одинаковое и равно $x$. Складываем показатели степеней 2, 5 и 4:
$x^2x^5x^4 = x^{2+5+4} = x^{11}$.
Ответ: $x^{11}$.

б) В выражении $y^3y^2y$ все множители имеют одинаковое основание $y$. Следует помнить, что переменная без явно указанного показателя степени (в данном случае $y$) имеет показатель, равный 1. То есть, $y = y^1$.
Складываем показатели степеней 3, 2 и 1:
$y^3y^2y = y^3 \cdot y^2 \cdot y^1 = y^{3+2+1} = y^6$.
Ответ: $y^6$.

в) В произведении $mm^3m^2m^5$ основание у всех множителей равно $m$. Первый множитель $m$ и последний $m^5$ являются степенями с основанием $m$. (Кажется, в условии опечатка, и должно быть $mm^3m^2m^5$. Если же последний множитель $m^5$, то решение следующее). Предположим, что выражение имеет вид $mm^3m^2m^5$. Множитель $m$ без показателя степени равен $m^1$.
Складываем все показатели степеней при основании $m$:
$mm^3m^2m^5 = m^1 \cdot m^3 \cdot m^2 \cdot m^5 = m^{1+3+2+5} = m^{11}$.
(Если в условии было $mm^3m^2m$, то $m^{1+3+2+1} = m^7$).
Ответ: $m^{11}$.

г) В выражении $p^4p^3pp$ основание у всех множителей одинаковое и равно $p$. Множители $p$ без показателя степени равны $p^1$.
Складываем показатели степеней 4, 3, 1 и 1:
$p^4p^3pp = p^4 \cdot p^3 \cdot p^1 \cdot p^1 = p^{4+3+1+1} = p^9$.
Ответ: $p^9$.

д) В произведении $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$ все множители имеют одинаковое основание 10.
Применяем правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием:
$10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 10^{2+3+5} = 10^{10}$.
Ответ: $10^{10}$.

е) В выражении $3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3$ основание у всех множителей одинаковое и равно 3. Последний множитель 3 равен $3^1$.
Складываем показатели степеней 4, 2, 3 и 1:
$3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^1 = 3^{4+2+3+1} = 3^{10}$.
Ответ: $3^{10}$.