Номер 314, страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 314, страница 79.

Условие.

314. Длина прямоугольника $x$ см, а ширина на $3$ см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Зависимость периметра:

$P = 4x - 6$

Зависимость площади:

$S = x^2 - 3x$

Линейная функция:

Зависимость периметра является линейной функцией.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Зависимость периметра прямоугольника от его длины

По условию задачи, длина прямоугольника равна $x$ см. Ширина на 3 см меньше длины, следовательно, ширина равна $(x - 3)$ см. Стоит отметить, что так как ширина должна быть положительной величиной, $x > 3$.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется как удвоенная сумма его длины и ширины: $P = 2 \cdot (\text{длина} + \text{ширина})$. Подставим в эту формулу наши значения:
$P(x) = 2 \cdot (x + (x - 3))$
Упростим выражение:
$P(x) = 2 \cdot (2x - 3)$
$P(x) = 4x - 6$

Ответ: Формула зависимости периметра прямоугольника от его длины: $P(x) = 4x - 6$.

Зависимость площади прямоугольника от длины

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины на ширину: $S = \text{длина} \cdot \text{ширина}$. Используя те же выражения для длины и ширины, получим:
$S(x) = x \cdot (x - 3)$
Раскроем скобки:
$S(x) = x^2 - 3x$

Ответ: Формула зависимости площади прямоугольника от его длины: $S(x) = x^2 - 3x$.

Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ – независимая переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа (коэффициенты). Главной особенностью является то, что переменная $x$ находится в первой степени.

Сравним полученные нами зависимости с этим определением:

• Зависимость периметра от длины $P(x) = 4x - 6$ полностью соответствует виду $y = kx + b$ (в данном случае $k=4$, $b=-6$). Следовательно, это линейная функция.
• Зависимость площади от длины $S(x) = x^2 - 3x$ содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Такая функция называется квадратичной и не является линейной.

Ответ: Линейной функцией является зависимость периметра от длины.