Номер 320, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Линейная функция и её график. Параграф 6. Линейная функция. Глава 2. Функции - номер 320, страница 80.

Условие.

320. (Задача-исследование.) Дана линейная функция $y = kx + 4$.

При каком значении $k$ график этой функции:

а) параллелен графику прямой пропорциональности $y = -x$;

б) не пересекает ось абсцисс;

в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;

г) проходит через точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$?

Обсудите ответы на поставленные вопросы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет. Угловой коэффициент для функции $y = kx + 4$ равен $k$. Угловой коэффициент для функции прямой пропорциональности $y = -x$ (или $y = -1 \cdot x + 0$) равен $-1$. Чтобы графики были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны: $k = -1$. Свободные члены ($4$ и $0$) при этом не равны, так что графики не совпадут.
Ответ: $k = -1$.

б) График линейной функции не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$), если он является горизонтальной прямой, не совпадающей с самой осью $Ox$. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа, не равная нулю. Это соответствует линейной функции с угловым коэффициентом, равным нулю. В нашем случае $y = kx + 4$. При $k = 0$ функция принимает вид $y = 4$. График этой функции — прямая, параллельная оси абсцисс, которая не пересекает её.
Ответ: $k = 0$.

в) Если график функции пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3, это означает, что график проходит через точку с координатами $(3, 0)$. Подставим эти значения ($x=3, y=0$) в уравнение функции $y = kx + 4$:
$0 = k \cdot 3 + 4$
Теперь решим это уравнение относительно $k$:
$3k = -4$
$k = -\frac{4}{3}$
Ответ: $k = -\frac{4}{3}$.

г) Сначала найдем точку пересечения графиков функций $y = 12 - x$ и $y = x + 4$. В точке пересечения их значения $y$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$12 - x = x + 4$
Решим это уравнение, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$12 - 4 = x + x$
$8 = 2x$
$x = 4$
Теперь найдем ординату, подставив $x=4$ в любое из двух уравнений:
$y = 4 + 4 = 8$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(4, 8)$.
По условию, график функции $y = kx + 4$ должен проходить через эту точку. Подставим координаты $(4, 8)$ в уравнение:
$8 = k \cdot 4 + 4$
Решим полученное уравнение относительно $k$:
$8 - 4 = 4k$
$4 = 4k$
$k = 1$
Ответ: $k = 1$.