Страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

300. Постройте график прямой пропорциональности, заданной фор-мулой:

а) $y = 3x;$

б) $y = -1.5x;$

в) $y = x;$

г) $y = -x;$

д) $y = 2.5x;$

е) $y = -4.5x.$

Функция прямой пропорциональности задается формулой $y = kx$, где $k$ - коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат - точку O(0, 0).

Для построения графика прямой достаточно найти координаты еще одной точки, принадлежащей этой прямой, а затем провести прямую через эту точку и начало координат.

а) $y = 3x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=3$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x=1$.

Подставим это значение в формулу: $y = 3 \cdot 1 = 3$.

Получили вторую точку для построения графика - A(1, 3).

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки O(0, 0) и A(1, 3) и провести через них прямую. Так как коэффициент $k=3 > 0$, график будет расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (1, 3) и провести через них прямую.

б) $y = -1,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-1,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Чтобы избежать дробных значений $y$, возьмем $x=2$.

Подставим это значение в формулу: $y = -1,5 \cdot 2 = -3$.

Получили вторую точку B(2, -3).

Проводим прямую через точки O(0, 0) и B(2, -3). Так как коэффициент $k=-1,5 < 0$, график будет расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (2, -3) и провести через них прямую.

в) $y = x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=1$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Возьмем $x=2$.

Подставим это значение в формулу: $y = 2$.

Получили вторую точку C(2, 2).

Проводим прямую через точки O(0, 0) и C(2, 2). Эта прямая является биссектрисой I и III координатных углов. Так как $k=1 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (2, 2) и провести через них прямую.

г) $y = -x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-1$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Возьмем $x=3$.

Подставим это значение в формулу: $y = -3$.

Получили вторую точку D(3, -3).

Проводим прямую через точки O(0, 0) и D(3, -3). Эта прямая является биссектрисой II и IV координатных углов. Так как $k=-1 < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (3, -3) и провести через них прямую.

д) $y = 2,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=2,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Чтобы избежать дробных значений $y$, возьмем $x=2$.

Подставим это значение в формулу: $y = 2,5 \cdot 2 = 5$.

Получили вторую точку E(2, 5).

Проводим прямую через точки O(0, 0) и E(2, 5). Так как $k=2,5 > 0$, график расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (2, 5) и провести через них прямую.

е) $y = -4,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-4,5$. График - прямая, проходящая через начало координат O(0, 0).

Найдем координаты еще одной точки. Чтобы избежать дробных значений $y$, возьмем $x=2$.

Подставим это значение в формулу: $y = -4,5 \cdot 2 = -9$.

Получили вторую точку F(2, -9).

Проводим прямую через точки O(0, 0) и F(2, -9). Так как $k=-4,5 < 0$, график расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки (0, 0) и (2, -9) и провести через них прямую.

304. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку $A(3; 21)$. Проходит ли этот график через точку $B(-7; -49)$; точку $C(-5; 3,5)$; точку $D(0,8; -5,6)$?

Функция прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Известно, что график этой функции проходит через точку $A(3; 21)$. Чтобы найти коэффициент $k$, подставим координаты точки $A$ в уравнение функции:

$21 = k \cdot 3$

$k = \frac{21}{3}$

$k = 7$

Следовательно, уравнение данной прямой пропорциональности: $y = 7x$.

Теперь проверим, проходит ли этот график через заданные точки, подставляя их координаты в полученное уравнение.

точка B(-7; -49)

Подставим $x = -7$ и $y = -49$ в уравнение $y = 7x$:

$-49 = 7 \cdot (-7)$

$-49 = -49$

Так как равенство верное, график функции проходит через точку $B$.

Ответ: да, проходит.

точка C(-5; 35)

Подставим $x = -5$ и $y = 35$ в уравнение $y = 7x$:

$35 = 7 \cdot (-5)$

$35 = -35$

Так как равенство неверное, график функции не проходит через точку $C$.

Ответ: нет, не проходит.

точка D(0,8; -5,6)

Подставим $x = 0,8$ и $y = -5,6$ в уравнение $y = 7x$:

$-5,6 = 7 \cdot 0,8$

$-5,6 = 5,6$

Так как равенство неверное, график функции не проходит через точку $D$.

Ответ: нет, не проходит.

307. Турист вышел из города и через $x$ ч находился на расстоянии $y$ км от него. Зависимость $y$ от $x$ показана в таблице:

$x$: 0, 0,5, 1, 2, 2,5, 3, 3,5, 4

$y$: 0, 2,1, 4,0, 7,9, 10,1, 12,1, 14, 16,1

В координатной плоскости отметьте эти точки и покажите с помощью линейки, что они расположены почти на прямой. Составьте формулу, которая приближённо выражает зависимость $y$ от $x$.

Для решения задачи сначала построим точки, заданные в таблице, в координатной плоскости. Каждая пара значений $(x, y)$ из таблицы соответствует точке на плоскости с координатами $(x; y)$. Мы имеем следующие точки: $(0; 0)$, $(0,5; 2,1)$, $(1; 4,0)$, $(2; 7,9)$, $(2,5; 10,1)$, $(3; 12,1)$, $(3,5; 14)$ и $(4; 16,1)$.

Отложим на горизонтальной оси (оси абсцисс) время $x$ в часах, а на вертикальной оси (оси ординат) — расстояние $y$ в километрах. Если построить эти точки и приложить к ним линейку, можно увидеть, что все они располагаются очень близко к одной прямой линии. Это говорит о том, что зависимость расстояния $y$ от времени $x$ является приблизительно линейной.

Так как точки лежат почти на одной прямой, эту зависимость можно приближённо описать формулой линейной функции: $y = kx + b$.

Из таблицы видно, что в начальный момент времени, когда $x = 0$, расстояние $y$ также равно $0$. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим: $0 = k \cdot 0 + b$, откуда следует, что $b=0$. Таким образом, искомая формула имеет более простой вид $y = kx$. В данном контексте коэффициент $k$ — это постоянная величина, которая соответствует средней скорости туриста.

Чтобы найти приближенное значение коэффициента $k$, можно вычислить отношение $y/x$ для различных пар значений из таблицы. Например:
для точки $(1; 4,0)$ имеем $k = \frac{4,0}{1} = 4,0$;
для точки $(2; 7,9)$ имеем $k = \frac{7,9}{2} = 3,95$;
для точки $(3,5; 14)$ имеем $k = \frac{14}{3,5} = 4,0$;
для точки $(4; 16,1)$ имеем $k = \frac{16,1}{4} = 4,025$.

Все полученные значения коэффициента $k$ очень близки к числу 4. Поэтому в качестве приближенного значения можно принять $k=4$. Это означает, что турист двигался с почти постоянной скоростью, равной примерно 4 км/ч.

Таким образом, формула, которая приближённо выражает зависимость $y$ от $x$, имеет вид: $y = 4x$.

Ответ: Если отметить данные точки на координатной плоскости, они расположатся почти на одной прямой, проходящей через начало координат. Приближенная формула, выражающая зависимость $y$ от $x$: $y = 4x$.

301. (Для работы в парах.) Задайте формулой прямую пропорциональность, график которой симметричен графику функции $y = 9x$:

а) относительно оси $x$;

б) относительно оси $y$.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

Исходная функция — это прямая пропорциональность, заданная формулой $y = 9x$. Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Нам нужно найти формулу для другой прямой пропорциональности, график которой симметричен исходному.

а) относительно оси x

Если график функции симметричен другому графику относительно оси абсцисс (оси $x$), то каждой точке $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствует точка $(x_1, y_1)$ на симметричном графике, для которой выполняются условия: $x_1 = x_0$ и $y_1 = -y_0$.

Возьмем произвольную точку $(x, y)$, принадлежащую искомому графику. Тогда точка с координатами $(x, -y)$ будет принадлежать графику исходной функции $y = 9x$. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

$-y = 9x$

Теперь выразим $y$, чтобы получить уравнение искомой функции:

$y = -9x$

Полученная функция является прямой пропорциональностью с коэффициентом $k = -9$.

Ответ: $y = -9x$

б) относительно оси y

Если график функции симметричен другому графику относительно оси ординат (оси $y$), то каждой точке $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствует точка $(x_1, y_1)$ на симметричном графике, для которой выполняются условия: $x_1 = -x_0$ и $y_1 = y_0$.

Возьмем произвольную точку $(x, y)$, принадлежащую искомому графику. Тогда точка с координатами $(-x, y)$ будет принадлежать графику исходной функции $y = 9x$. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

$y = 9(-x)$

Упростим полученное выражение:

$y = -9x$

Полученная функция также является прямой пропорциональностью с коэффициентом $k = -9$. Интересно отметить, что для функции вида $y=kx$ (прямая пропорциональность) симметрия относительно оси $x$ и симметрия относительно оси $y$ приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $y = -9x$

305. (Для работы в парах.) Покажите схематически, как расположен график функции, заданной формулой:

а) $y = 1.7x;$

б) $y = -3.1x;$

в) $y = 0.9x;$

г) $y = -2.3x;$

д) $y = kx$, где $k > 0;$

е) $y = kx$, где $k < 0.$

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто — задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Обсудите, какой вид имеет график функции $y = kx$ в заданиях д) и е).

а) $y = 1,7x$

Это функция прямой пропорциональности вида $y = kx$. В данном случае угловой коэффициент $k = 1,7$. Поскольку $k > 0$, график функции представляет собой прямую линию, которая проходит через начало координат (точку $(0,0)$) и расположена в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей: с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, является острым.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях.

б) $y = -3,1x$

Это функция вида $y = kx$. Здесь угловой коэффициент $k = -3,1$. Поскольку $k < 0$, график функции — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. Функция является убывающей: с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, является тупым.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV четвертях.

в) $y = 0,9x$

Это функция прямой пропорциональности $y = kx$. Угловой коэффициент $k = 0,9$. Так как $k > 0$, график — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является возрастающей. По сравнению с графиком функции $y = 1,7x$, этот график будет более пологим (ближе к оси Ox), так как $|0,9| < |1,7|$.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях.

г) $y = -2,3x$

Это функция вида $y = kx$. Угловой коэффициент $k = -2,3$. Поскольку $k < 0$, график представляет собой прямую, проходящую через начало координат и расположенную во II и IV координатных четвертях. Функция является убывающей. По сравнению с графиком функции $y = -3,1x$, этот график будет более пологим (ближе к оси Ox), так как $|-2,3| < |-3,1|$.

Ответ: График — прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV четвертях.

д) $y = kx$, где $k > 0$

Это общий вид функции прямой пропорциональности с положительным угловым коэффициентом. График любой такой функции — это прямая линия, проходящая через начало координат (точку $(0,0)$). Условие $k > 0$ означает, что прямая всегда будет расположена в I (где $x>0, y>0$) и III (где $x<0, y<0$) координатных четвертях. При движении по графику слева направо (с увеличением $x$), график будет "подниматься" вверх (значение $y$ будет увеличиваться), то есть функция является возрастающей. Чем больше значение $k$, тем "круче" будет идти прямая, то есть тем ближе она будет расположена к оси Oy.

Ответ: График функции $y = kx$ при $k > 0$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях.

е) $y = kx$, где $k < 0$

Это общий вид функции прямой пропорциональности с отрицательным угловым коэффициентом. График любой такой функции — это прямая линия, проходящая через начало координат. Условие $k < 0$ означает, что прямая всегда будет расположена во II (где $x<0, y>0$) и IV (где $x>0, y<0$) координатных четвертях. При движении по графику слева направо (с увеличением $x$), график будет "опускаться" вниз (значение $y$ будет уменьшаться), то есть функция является убывающей. Чем больше модуль коэффициента $|k|$ (например, $|-5| > |-2|$), тем "круче" будет идти прямая, то есть тем ближе она будет к оси Oy.

Ответ: График функции $y = kx$ при $k < 0$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях.

302. Постройте график функции, заданной формулой $y = -0.5x$.
С помощью графика найдите:

а) значение $y$, соответствующее $x$, равному $-2; 4; 1;$

б) при каком $x$ значение $y$ равно $-1; 0; 2.5$.

Существует ли такое $x$, при котором $y = -150$? Если существует, то вычислите его.

Для построения графика функции $y = -0,5x$ нужно найти координаты двух точек, так как это линейная функция, и ее график — прямая линия.

1. Возьмем $x=0$. Тогда $y = -0,5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку (0; 0) — начало координат.

2. Возьмем $x=4$. Тогда $y = -0,5 \cdot 4 = -2$. Получаем точку (4; -2).

Проводим прямую через точки (0; 0) и (4; -2). Эта прямая является графиком функции $y = -0,5x$. График расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

С помощью построенного графика найдем требуемые значения.

а) значение y, соответствующее x, равному –2; 4; 1;

Для нахождения $y$ по известному $x$ нужно найти на оси абсцисс ($Ox$) заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную до оси ординат ($Oy$).
- Если $x = -2$, то на графике этому значению соответствует $y = 1$.
- Если $x = 4$, то на графике этому значению соответствует $y = -2$.
- Если $x = 1$, то на графике этому значению соответствует $y = -0,5$.

Ответ: при $x=-2$, $y=1$; при $x=4$, $y=-2$; при $x=1$, $y=-0,5$.

б) при каком x значение y равно –1; 0; 2,5.

Для нахождения $x$ по известному $y$ нужно найти на оси ординат ($Oy$) заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную до оси абсцисс ($Ox$).
- Если $y = -1$, то на графике этому значению соответствует $x = 2$.
- Если $y = 0$, то точка пересечения находится в начале координат, следовательно, $x = 0$.
- Если $y = 2,5$, то на графике этому значению соответствует $x = -5$.

Ответ: $y = -1$ при $x=2$; $y = 0$ при $x=0$; $y = 2,5$ при $x=-5$.

Существует ли такое x, при котором y = –150? Если существует, то вычислите его.

Да, такое значение $x$ существует, так как область определения и область значений функции $y = -0,5x$ — все действительные числа. Чтобы найти это значение, решим уравнение, подставив в него $y = -150$:

$-150 = -0,5x$

Выразим $x$ из уравнения:

$x = \frac{-150}{-0,5}$

$x = 300$

Ответ: Да, существует, $x=300$.

306. Для каждого графика прямой пропорциональности, изображённого на рисунке 26, напишите соответствующую формулу.

График I

$y = 4x$

График II

$y = \frac{1}{2}x$

График III

$y = -2x$

График IV

$y = -6x$

Рис. 26

Все графики, изображенные на рисунке, являются графиками прямой пропорциональности, общая формула которой имеет вид $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Графики проходят через начало координат $(0, 0)$. Для нахождения коэффициента $k$ для каждой прямой достаточно выбрать на ней одну точку с известными координатами $(x_0, y_0)$ и вычислить $k$ по формуле $k = \frac{y_0}{x_0}$.

I

График I проходит через точку с координатами $(2, 8)$.

Найдем коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{y}{x} = \frac{8}{2} = 4$

Следовательно, формула для графика I:

Ответ: $y = 4x$

II

График II проходит через точку с координатами $(6, 2)$.

Найдем коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{y}{x} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Следовательно, формула для графика II:

Ответ: $y = \frac{1}{3}x$

III

График III проходит через точку с координатами $(4, -4)$.

Найдем коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{y}{x} = \frac{-4}{4} = -1$

Следовательно, формула для графика III:

Ответ: $y = -x$

IV

График IV проходит через точку с координатами $(2, -6)$.

Найдем коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{y}{x} = \frac{-6}{2} = -3$

Следовательно, формула для графика IV:

Ответ: $y = -3x$

303. Принадлежат ли графику функции $y = -0.5x$ точки $A(0; 1)$, $B(-1; 0.5)$, $C(2; -1)$, $D(4; -2)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты этой точки $(x;y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Уравнение функции: $y = -0,5x$.

A(0; 1)
Подставим координаты точки A, где $x=0$ и $y=1$, в уравнение функции: $1 = -0,5 \cdot 0$
$1 = 0$
Равенство неверное, следовательно, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

B(-1; 0,5)
Подставим координаты точки B, где $x=-1$ и $y=0,5$, в уравнение функции: $0,5 = -0,5 \cdot (-1)$
$0,5 = 0,5$
Равенство верное, следовательно, точка B принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

C(2; -1)
Подставим координаты точки C, где $x=2$ и $y=-1$, в уравнение функции: $-1 = -0,5 \cdot 2$
$-1 = -1$
Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

D(4; -2)
Подставим координаты точки D, где $x=4$ и $y=-2$, в уравнение функции: $-2 = -0,5 \cdot 4$
$-2 = -2$
Равенство верное, следовательно, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.