Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

288. Пользуясь графиком функции, изображённым на рисунке 17, укажите два каких-либо значения аргумента, при которых функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Рис. 17

а) положительные значения;
Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых функция принимает положительные значения ($y > 0$), необходимо найти на графике участки, где кривая расположена выше оси абсцисс ($Ox$).
Согласно графику, функция положительна на интервалах $(-3; 0)$ и на интервале, начинающемся примерно от $x=2.5$.
Мы можем выбрать любые два значения $x$ из этих интервалов.

• Например, возьмём $x = -2$. Из графика видно, что соответствующее значение функции $y \approx 1$, что больше нуля.
• Возьмём другое значение, например, $x = 1.5$. Из графика видно, что $y \approx 3.5$, что также больше нуля.

Ответ: $x = -2$ и $x = 1.5$.

б) отрицательные значения.
Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), необходимо найти на графике участки, где кривая расположена ниже оси абсцисс ($Ox$).
Согласно графику, функция отрицательна на интервале $(-\infty; -3)$.
Мы можем выбрать любые два значения $x$ из этого интервала.

• Например, возьмём $x = -4$. Из графика видно, что соответствующее значение функции $y \approx -2$, что меньше нуля.
• Возьмём другое значение, например, $x = -3.5$. Из графика видно, что $y \approx -1$, что также меньше нуля.

Ответ: $x = -4$ и $x = -3.5$.

289. Измеряя в течение десяти лет каждый год в день рождения рост ребёнка, построили график зависимости роста от возраста ребёнка (рис. 18). Пользуясь графиком, найдите:

а) каков был рост ребёнка в 3 года; в 6 лет; в 9 лет;

б) на сколько сантиметров вырос ребёнок за первые пять лет жизни; за последующие пять лет жизни.

График: Оси: $m, см$ (вертикальная) и $t, лет$ (горизонтальная).

Рис. 18

а) каков был рост ребёнка в 3 года; в 6 лет; в 9 лет;

Для решения задачи проанализируем график зависимости роста ребёнка (ось m, см) от его возраста (ось l, лет). Сначала определим масштаб осей. По горизонтальной оси возраста (l) одна клетка соответствует 1 году. По вертикальной оси роста (m) 5 клеток соответствуют 50 см, следовательно, одна клетка соответствует $50 / 5 = 10$ см.

• Чтобы найти рост ребёнка в 3 года, найдём на горизонтальной оси отметку «3». Поднимемся от неё вертикально вверх до пересечения с линией графика. От точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью роста. Линия попадает точно на отметку 100 см.
• Чтобы найти рост ребёнка в 6 лет, найдём на горизонтальной оси отметку «6». Проделав ту же процедуру, увидим, что точка на вертикальной оси находится посередине между отметками 110 см и 120 см. Таким образом, рост ребёнка составлял 115 см.
• Чтобы найти рост ребёнка в 9 лет, найдём на горизонтальной оси отметку «9». Аналогично, точка на вертикальной оси будет находиться посередине между отметками 130 см и 140 см. Следовательно, рост ребёнка в этом возрасте был 135 см.

Ответ: в 3 года – 100 см; в 6 лет – 115 см; в 9 лет – 135 см.

б) на сколько сантиметров вырос ребёнок за первые пять лет жизни; за последующие пять лет жизни.

Чтобы найти, на сколько ребёнок вырос за определённый промежуток времени, нужно вычислить разность между его ростом в конце и в начале этого периода.

• За первые пять лет жизни (от 0 до 5 лет):
  Сначала определим рост при рождении (в 0 лет) и в 5 лет по графику.
  Рост в 0 лет: $m(0) = 50$ см.
  Рост в 5 лет: $m(5) = 110$ см.
  Прирост за этот период составляет: $m(5) - m(0) = 110 \text{ см} - 50 \text{ см} = 60 \text{ см}$.
• За последующие пять лет жизни (от 5 до 10 лет):
  Определим рост в 5 лет и в 10 лет.
  Рост в 5 лет: $m(5) = 110$ см.
  Рост в 10 лет: $m(10) = 145$ см (точка находится посередине между 140 см и 150 см).
  Прирост за этот период составляет: $m(10) - m(5) = 145 \text{ см} - 110 \text{ см} = 35 \text{ см}$.

Ответ: за первые пять лет ребёнок вырос на 60 см; за последующие пять лет – на 35 см.

287. (Для работы в парах.) Кривая, изображённая на рисунке 17 — график некоторой функции. Используя график, найдите:

а) значения y при $x = -3; -2; 0; 2; 4$;

б) значения x, которым соответствуют $y = -2; 0; 2; 3$.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

4) Обсудите возможность существования двух искомых значений в случае а) и в случае б).

Рис. 17

а) Для того чтобы найти значения функции $y$ по заданным значениям аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси Ox) указанное значение $x$, затем провести перпендикуляр к оси до пересечения с графиком. Ордината (значение по вертикальной оси Oy) этой точки и будет искомым значением $y$.

• При $x = -3$: находим на оси $x$ значение -3. График проходит через эту точку на оси, следовательно, её ордината равна 0. Таким образом, $y=0$.
• При $x = -2$: находим на оси $x$ значение -2, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения равна 1. Таким образом, $y=1$.
• При $x = 0$: это точка пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что ордината этой точки равна 2. Таким образом, $y=2$.
• При $x = 2$: находим на оси $x$ значение 2, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения равна 3. Таким образом, $y=3$.
• При $x = 4$: находим на оси $x$ значение 4, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения находится ровно посередине между 2 и 3. Таким образом, $y=2.5$.

Ответ: при $x = -3, y = 0$; при $x = -2, y = 1$; при $x = 0, y = 2$; при $x = 2, y = 3$; при $x = 4, y = 2.5$.

б) Для того чтобы найти значения аргумента $x$, которым соответствуют заданные значения функции $y$, необходимо найти на оси ординат (вертикальной оси Oy) указанное значение $y$, затем провести горизонтальную линию до пересечения с графиком. Абсциссы (значения по горизонтальной оси Ox) этих точек и будут искомыми значениями $x$.

• При $y = -2$: проводим горизонтальную линию $y = -2$. Эта линия не пересекает график, так как самое низкое значение функции на графике (локальный минимум) составляет приблизительно -0.5. Значит, нет таких значений $x$.
• При $y = 0$: эта линия является осью $x$. График пересекает её в трёх точках. Абсцисса одной из них точно равна -3. Две другие абсциссы можно определить лишь приблизительно: $x \approx -1.6$ и $x \approx -0.4$.
• При $y = 2$: проводим горизонтальную линию $y = 2$. Линия пересекает график в трёх точках. Абсцисса одной из них точно равна 0. Другие две абсциссы можно определить приблизительно: $x \approx 2.5$ и $x \approx 3.7$.
• При $y = 3$: проводим горизонтальную линию $y = 3$. Линия пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны 1 и 2.

Ответ: при $y = -2$ таких значений $x$ нет; при $y = 0$ имеем $x = -3$, $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$; при $y = 2$ имеем $x = 0$, $x \approx 2.5$, $x \approx 3.7$; при $y = 3$ имеем $x = 1$, $x = 2$.

4) Обсуждение возможности существования двух искомых значений в случаях а) и б).

В случае а), когда по известному $x$ ищется $y$: По определению, кривая на рисунке является графиком функции. Функция сопоставляет каждому значению аргумента $x$ из её области определения только одно значение $y$. Если бы одному $x$ соответствовало два значения $y$, это бы означало, что вертикальная линия, проведенная через данное $x$, пересекла бы график в двух точках, что противоречит определению функции. Таким образом, для каждого значения $x$ может существовать только одно значение $y$.

В случае б), когда по известному $y$ ищется $x$: В этом случае мы ищем значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение. Геометрически это означает поиск точек пересечения графика с горизонтальной линией. Как видно из графика и решения пункта б), такая горизонтальная линия может пересекать