Номер 287, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. График функции. Параграф 5. Функции и их графики. Глава 2. Функции - номер 287, страница 66.

Условие.

287. (Для работы в парах.) Кривая, изображённая на рисунке 17 — график некоторой функции. Используя график, найдите:

а) значения y при $x = -3; -2; 0; 2; 4$;

б) значения x, которым соответствуют $y = -2; 0; 2; 3$.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения задания.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

4) Обсудите возможность существования двух искомых значений в случае а) и в случае б).

Рис. 17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы найти значения функции $y$ по заданным значениям аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (горизонтальной оси Ox) указанное значение $x$, затем провести перпендикуляр к оси до пересечения с графиком. Ордината (значение по вертикальной оси Oy) этой точки и будет искомым значением $y$.

• При $x = -3$: находим на оси $x$ значение -3. График проходит через эту точку на оси, следовательно, её ордината равна 0. Таким образом, $y=0$.
• При $x = -2$: находим на оси $x$ значение -2, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения равна 1. Таким образом, $y=1$.
• При $x = 0$: это точка пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что ордината этой точки равна 2. Таким образом, $y=2$.
• При $x = 2$: находим на оси $x$ значение 2, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения равна 3. Таким образом, $y=3$.
• При $x = 4$: находим на оси $x$ значение 4, поднимаемся до графика. Ордината точки пересечения находится ровно посередине между 2 и 3. Таким образом, $y=2.5$.

Ответ: при $x = -3, y = 0$; при $x = -2, y = 1$; при $x = 0, y = 2$; при $x = 2, y = 3$; при $x = 4, y = 2.5$.

б) Для того чтобы найти значения аргумента $x$, которым соответствуют заданные значения функции $y$, необходимо найти на оси ординат (вертикальной оси Oy) указанное значение $y$, затем провести горизонтальную линию до пересечения с графиком. Абсциссы (значения по горизонтальной оси Ox) этих точек и будут искомыми значениями $x$.

• При $y = -2$: проводим горизонтальную линию $y = -2$. Эта линия не пересекает график, так как самое низкое значение функции на графике (локальный минимум) составляет приблизительно -0.5. Значит, нет таких значений $x$.
• При $y = 0$: эта линия является осью $x$. График пересекает её в трёх точках. Абсцисса одной из них точно равна -3. Две другие абсциссы можно определить лишь приблизительно: $x \approx -1.6$ и $x \approx -0.4$.
• При $y = 2$: проводим горизонтальную линию $y = 2$. Линия пересекает график в трёх точках. Абсцисса одной из них точно равна 0. Другие две абсциссы можно определить приблизительно: $x \approx 2.5$ и $x \approx 3.7$.
• При $y = 3$: проводим горизонтальную линию $y = 3$. Линия пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны 1 и 2.

Ответ: при $y = -2$ таких значений $x$ нет; при $y = 0$ имеем $x = -3$, $x \approx -1.6$, $x \approx -0.4$; при $y = 2$ имеем $x = 0$, $x \approx 2.5$, $x \approx 3.7$; при $y = 3$ имеем $x = 1$, $x = 2$.

4) Обсуждение возможности существования двух искомых значений в случаях а) и б).

В случае а), когда по известному $x$ ищется $y$: По определению, кривая на рисунке является графиком функции. Функция сопоставляет каждому значению аргумента $x$ из её области определения только одно значение $y$. Если бы одному $x$ соответствовало два значения $y$, это бы означало, что вертикальная линия, проведенная через данное $x$, пересекла бы график в двух точках, что противоречит определению функции. Таким образом, для каждого значения $x$ может существовать только одно значение $y$.

В случае б), когда по известному $y$ ищется $x$: В этом случае мы ищем значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение. Геометрически это означает поиск точек пересечения графика с горизонтальной линией. Как видно из графика и решения пункта б), такая горизонтальная линия может пересекать