Номер 290, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. График функции. Параграф 5. Функции и их графики. Глава 2. Функции - номер 290, страница 67.

Условие.

290. (Для работы в парах.) На рисунке 19 изображены графики зависимости высоты уровня жидкости от её объёма в двух сосудах различной формы, но одной и той же ёмкости 3 л. Пользуясь графиками, найдите:

а) какое количество жидкости надо налить в каждый сосуд, чтобы уровни жидкости в них были одинаковы;

б) сколько жидкости надо налить во второй сосуд, чтобы получить высоту уровня такую же, как в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при выполнении задания, и изобразите схематически, какую примерную форму имеют эти сосуды.

Ось Y: $y, мм$

Ось X: $x, л$

Подпись к кривой: 1-й сосуд

Подпись к кривой: 2-й сосуд

Рис. 19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти, какое количество жидкости нужно налить в каждый сосуд, чтобы уровни жидкости в них были одинаковы, необходимо найти на графике точку пересечения двух кривых. В этой точке объём ($x$) и высота ($y$) будут одинаковыми для обоих сосудов.

Глядя на график, мы видим, что кривые «1-й сосуд» и «2-й сосуд» пересекаются в одной точке. Чтобы найти соответствующий этой точке объём, опустим перпендикуляр из точки пересечения на ось абсцисс ($x$). Этот перпендикуляр попадает в значение $x = 2,5$ л.

Ответ: чтобы уровни жидкости в сосудах были одинаковы, в каждый сосуд надо налить по 2,5 л жидкости.

б) Чтобы найти, сколько жидкости надо налить во второй сосуд для достижения определённой высоты, выполним следующие действия:

1. Найдём высоту уровня жидкости в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости. Для этого на оси объёмов ($x$) находим значение 1,5, поднимаемся до графика «1-й сосуд» и от этой точки движемся горизонтально к оси высот ($y$). Получаем значение высоты $y = 60$ мм.
2. Теперь найдём, какой объём жидкости нужно налить во второй сосуд, чтобы достичь высоты 60 мм. На оси высот ($y$) находим значение 60, движемся горизонтально до пересечения с графиком «2-й сосуд» и от этой точки опускаем перпендикуляр на ось объёмов ($x$). Получаем значение объёма $x = 2,0$ л.

Ответ: во второй сосуд надо налить 2,0 л жидкости.

1) Задания а) и б) являются независимыми и могут быть выполнены двумя людьми по отдельности. Решения представлены выше в соответствующих пунктах.

Ответ: задания выполнены в пунктах а) и б).

2) Объяснение рассуждений и определение формы сосудов.

Как мы рассуждали:

Для решения пункта а) мы искали на графике точку, общую для обоих сосудов, то есть точку их пересечения. Координата $x$ этой точки показывает объём, при котором высота жидкости ($y$) в обоих сосудах станет одинаковой.

Для решения пункта б) мы действовали в два этапа. Сначала по графику для первого сосуда определили высоту, которая соответствует заданному объёму (1,5 л). Затем, используя эту высоту как заданное условие, мы по графику для второго сосуда нашли, какой объём требуется для её достижения.

Примерная форма сосудов:

Форму сосудов можно определить по характеру графика. Наклон графика (отношение изменения высоты к изменению объёма, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) обратно пропорционален площади поперечного сечения сосуда. Чем круче идёт график, тем меньше площадь сечения.

• 1-й сосуд: График — прямая линия, проходящая через начало координат ($y=kx$). Это означает, что наклон постоянен. Следовательно, площадь поперечного сечения сосуда не меняется с высотой. Это характерно для сосуда цилиндрической формы (или прямой призмы).
• 2-й сосуд: График — кривая, наклон которой увеличивается с ростом объёма и высоты. Вначале график пологий (малый наклон), а затем становится круче. Это означает, что площадь поперечного сечения сосуда велика у дна и уменьшается по мере увеличения высоты. Такой сосуд сужается кверху, например, как усечённый конус, стоящий на широком основании.

Схематическое изображение:

1-й сосуд (цилиндр)

| || || ||_________| 

2-й сосуд (сужается кверху)

 \ / \ / \ / \ / ----*---- 

Ответ: рассуждения основаны на чтении координат с графика и анализе его формы. Первый сосуд имеет цилиндрическую форму, а второй — форму, сужающуюся кверху.