Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

290. (Для работы в парах.) На рисунке 19 изображены графики зависимости высоты уровня жидкости от её объёма в двух сосудах различной формы, но одной и той же ёмкости 3 л. Пользуясь графиками, найдите:

а) какое количество жидкости надо налить в каждый сосуд, чтобы уровни жидкости в них были одинаковы;

б) сколько жидкости надо налить во второй сосуд, чтобы получить высоту уровня такую же, как в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при выполнении задания, и изобразите схематически, какую примерную форму имеют эти сосуды.

Ось Y: $y, мм$

Ось X: $x, л$

Подпись к кривой: 1-й сосуд

Подпись к кривой: 2-й сосуд

Рис. 19

а) Чтобы найти, какое количество жидкости нужно налить в каждый сосуд, чтобы уровни жидкости в них были одинаковы, необходимо найти на графике точку пересечения двух кривых. В этой точке объём ($x$) и высота ($y$) будут одинаковыми для обоих сосудов.

Глядя на график, мы видим, что кривые «1-й сосуд» и «2-й сосуд» пересекаются в одной точке. Чтобы найти соответствующий этой точке объём, опустим перпендикуляр из точки пересечения на ось абсцисс ($x$). Этот перпендикуляр попадает в значение $x = 2,5$ л.

Ответ: чтобы уровни жидкости в сосудах были одинаковы, в каждый сосуд надо налить по 2,5 л жидкости.

б) Чтобы найти, сколько жидкости надо налить во второй сосуд для достижения определённой высоты, выполним следующие действия:

1. Найдём высоту уровня жидкости в первом сосуде, когда в него налито 1,5 л жидкости. Для этого на оси объёмов ($x$) находим значение 1,5, поднимаемся до графика «1-й сосуд» и от этой точки движемся горизонтально к оси высот ($y$). Получаем значение высоты $y = 60$ мм.
2. Теперь найдём, какой объём жидкости нужно налить во второй сосуд, чтобы достичь высоты 60 мм. На оси высот ($y$) находим значение 60, движемся горизонтально до пересечения с графиком «2-й сосуд» и от этой точки опускаем перпендикуляр на ось объёмов ($x$). Получаем значение объёма $x = 2,0$ л.

Ответ: во второй сосуд надо налить 2,0 л жидкости.

1) Задания а) и б) являются независимыми и могут быть выполнены двумя людьми по отдельности. Решения представлены выше в соответствующих пунктах.

Ответ: задания выполнены в пунктах а) и б).

2) Объяснение рассуждений и определение формы сосудов.

Как мы рассуждали:

Для решения пункта а) мы искали на графике точку, общую для обоих сосудов, то есть точку их пересечения. Координата $x$ этой точки показывает объём, при котором высота жидкости ($y$) в обоих сосудах станет одинаковой.

Для решения пункта б) мы действовали в два этапа. Сначала по графику для первого сосуда определили высоту, которая соответствует заданному объёму (1,5 л). Затем, используя эту высоту как заданное условие, мы по графику для второго сосуда нашли, какой объём требуется для её достижения.

Примерная форма сосудов:

Форму сосудов можно определить по характеру графика. Наклон графика (отношение изменения высоты к изменению объёма, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$) обратно пропорционален площади поперечного сечения сосуда. Чем круче идёт график, тем меньше площадь сечения.

• 1-й сосуд: График — прямая линия, проходящая через начало координат ($y=kx$). Это означает, что наклон постоянен. Следовательно, площадь поперечного сечения сосуда не меняется с высотой. Это характерно для сосуда цилиндрической формы (или прямой призмы).
• 2-й сосуд: График — кривая, наклон которой увеличивается с ростом объёма и высоты. Вначале график пологий (малый наклон), а затем становится круче. Это означает, что площадь поперечного сечения сосуда велика у дна и уменьшается по мере увеличения высоты. Такой сосуд сужается кверху, например, как усечённый конус, стоящий на широком основании.

Схематическое изображение:

| || || ||_________| 

 \ / \ / \ / \ / ----*---- 

Ответ: рассуждения основаны на чтении координат с графика и анализе его формы. Первый сосуд имеет цилиндрическую форму, а второй — форму, сужающуюся кверху.

291. Время, за которое маятник совершает полное колебание, т. е. из положения OA переходит в положение OC, а затем снова возвращается в положение OA (рис. 20), называется периодом колебания маятника. Изучая зависимость периода колебания маятника $T$ от длины нити $l$, составили таблицу:

Постройте график зависимости периода колебания маятника $T$ от длины нити $l$.

Рис. 20

Для построения графика зависимости периода колебания маятника $T$ от длины нити $l$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбор осей координат. Начертим прямоугольную систему координат. Горизонтальную ось (ось абсцисс) назовем осью длин $l$ и укажем единицы измерения — сантиметры (см). Вертикальную ось (ось ординат) назовем осью периодов $T$ и укажем единицы измерения — секунды (с).
2. Выбор масштаба. Для наглядного представления данных подберем удобный масштаб.
   • По оси $l$ (горизонтальной) значения лежат в диапазоне от 30 до 100 см. Можно выбрать масштаб, где 1 см на графике соответствует 10 см длины нити.
   • По оси $T$ (вертикальной) значения лежат в диапазоне от 1,0 до 2,0 с. Можно выбрать масштаб, где 5 см на графике соответствуют 1 секунде периода (то есть, 1 см соответствует 0,2 с).
3. Нанесение точек на график. Используя данные из таблицы, отметим на координатной плоскости точки с соответствующими координатами $(l; T)$:
   • (30; 1,0)
   • (50; 1,4)
   • (60; 1,6)
   • (80; 1,8)
   • (100; 2,0)
4. Построение кривой. Соединим отмеченные точки плавной линией. Важно отметить, что зависимость не является линейной, поэтому точки не следует соединять прямыми отрезками. График представляет собой ветвь параболы, так как теоретически период колебаний маятника пропорционален квадратному корню из его длины ($T \sim \sqrt{l}$).

Ниже представлен график, построенный на основе данных из таблицы.

Ответ: График зависимости периода колебаний маятника $T$ от длины нити $l$ построен и представлен выше. Он показывает, что с увеличением длины нити период колебаний также увеличивается, причём эта зависимость не является линейной.